全电流安培环路定理#
位移电流：当电场强度随时间变化时，电场强度的变化率 $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ 产生的感生电场，称为位移电流，其大小为
$$I_D = \frac{\mathrm{d}\Phi_D}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oiint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \oiint_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$$
其中，$\vec{J}_D = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ 为位移电流密度。
传导电流与位移电流之和为全电流，全电流安培环路定理为
$$\oint_L \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = I + I_D$$
麦克斯韦方程组#
麦克斯韦方程组积分形式为
$$ \begin{aligned} & (1) \quad \oiint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \Sigma_i Q_i \ & (2) \quad \oint_L \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = -\iint_S \frac{\partial \vec{{B}}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \ & (3) \quad \oiint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0 \ & (4) \quad \oint_L \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \Sigma_i I_i + I_D \end{aligned} $$
- 方程（1）为电场的高斯定理（电场通量定理），它给出了电场强度和电荷的关系，其包含了电荷产生的、变化磁场产生的的电荷；
- 方程（2）为法拉第电磁感应定律（电场环流定理），说明了变化的磁场产生有旋电场；
- 方程（3）为磁场的高斯定理（磁场通量定理），说明了磁场无源；
- 方程（4）为全电流安培环路定理（磁场环流定理），说明了电流和变化的电场都能产生磁场。
均匀各向同性电磁介质也适用，只需带入
$$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \quad \vec{B} = \mu \vec{H}, \quad \vec{J} = \sigma \vec{E}$$
麦克斯韦方程组微分形式为
$$ \begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho \ & \nabla \cdot \vec{B} = 0 \ & \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \ & \nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned} $$
电磁波#
由麦克斯韦方程组微分形式中的 $\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ 和 $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ 可知，随时间变化的磁场会激发有旋电场，随时间变化的电场会激发有旋磁场。当空间中无电荷、无传导电流时，由
$$\vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \quad \vec{B} = \mu \vec{H}$$
可将麦克斯韦方程组化简为
$$ \begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho \ & \nabla \cdot \vec{H} = 0 \ & \nabla \times \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \ & \nabla \times \vec{H} = \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned} $$
假设电磁场沿 $x$ 方向传播，则 $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 都是关于 $x$ 和 $t$ 的函数，与 $y$ 和 $z$ 无关，即可得到
- 电磁波为横波；
- 当 $\vec{E}$ 沿 $y$ 轴时，$\vec{H}$ 沿 $z$ 轴；
- 电磁波的波速为 $u = 1 / \sqrt{\varepsilon \mu}$；
- $\vec{E}$ 和 $\vec{H}$ 同频同相位，且 $\vec{E}, \vec{H}$ 和波速 $\vec{u}$ 成右手螺旋关系。
电磁波的能量#
真空中电磁波的能量密度可写为
$$ \begin{aligned} w &= w_e + w_m = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \ &= \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{\varepsilon_0 (cB)^2}{2} \ &= 2w_e = 2w_m \ &= \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} \end{aligned} $$
电磁波的能流密度为
$$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} = \vec{E} \times \vec{H}$$
其大小为
$$S = \frac{1}{\mu_0} EB = c\varepsilon_0 E^2 = cw$$
电磁波以速度 $c$ 传播时，其能量也以速度 $c$ 传播。
电磁势#
电磁场的电磁势为
$$\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \frac{\vec{J}}{r} \mathrm{d}V, \quad \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \frac{\rho}{r} \mathrm{d}V$$
其中，$\vec{A}$ 为磁矢势，$\varphi$ 为电势。
电磁场的电磁场强度和磁场强度分别为
$$\vec{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}$$