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一元函数积分学

高等数学 高等数学

不定积分

定义:如果在某区间 II 上,F(x)=f(x)F'(x)=f(x) 或者 dF(x)=f(x)dxdF(x)=f(x)dx,那么称 F(x)F(x) 是函数 f(x)f(x) 的一个原函数

定义:设 F(x)F(x) 是函数 f(x)f(x) 在某区间 II 上的一个原函数,则函数族 F(x)+CF(x)+C 表示 f(x)f(x)II 上的一切原函数,称为 f(x)f(x)不定积分,记作 f(x)dx=F(x)+C \int f(x)dx=F(x)+C 其中 xx 为积分变量,f(x)f(x) 为被积函数,f(x)dxf(x)dx 为被积表达式,\int 为积分符号。

不定积分有以下性质: [f(x)dx]=f(x)+Cd(f(x)dx)=f(x)dx+C [\int f(x)dx]'=f(x)+C \ d(\int f(x)dx)=f(x)dx+C 定理:若函数 f(x)f(x) 在区间 II 上连续,则 f(x)f(x)II 上存在原函数 F(x)F(x)

基本积分公式与积分运算法则

积分的线性运算法则:若函数 f(x),g(x)f(x),g(x) 的不定积分都存在,则对不全为 0 的任意常数 k1,k2k_1,k_2,有 [k1f(x)=k2g(x)]dx=k1f(x)dx+k2g(x)dx \int[k_1f(x)=k_2g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx

不定积分的计算

第一类换元法(凑微分法):设 f(x)dx=F(x)+C,u=φ(x)\int f(x)dx=F(x)+C,u=\varphi(x) 是可微函数,则有换元公式 f(φ(x))φ(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(φ(x))+C \int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(u)du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C 以下是常见的凑微分法:

有理函数的不定积分法:设有理函数 R(x)=P(x)Q(x)R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},其中 P(x),Q(x)P(x),Q(x) 分别是 n,mn,m 次多项式。若 n<mn<m,则称 R(x)R(x) 为真分式。若 nmn\ge m,则 R(x)R(x) 可分解为多项式与真分式的和。其中,真分式能分解为以下四种最简分式的和: Axa,A(xa)k,bx+Dx2+px+q,Bx+D(x2+px+q)kk=2,3,,p24q<0 \frac A{x-a},\frac A{(x-a)^k},\frac{bx+D}{x^2+px+q},\frac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k}\quad k=2,3,\cdots,p^2-4q<0 TODO

三角函数有理式的不定积分法

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