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如图，轻绳/轻杆全长为$l$，一端固定，另一端系有小球，不计轻绳/轻杆重力，不计摩擦，给小球一某方向的初速度，小球最终可以在水平、竖直或空间中某一平面做圆周运动。 对于图(a)，$r=l\sin\alpha$。分析小球的受力情况，小球受到竖直向下的重力$mg$，和沿绳方向的力$T$。小球在竖直方向上受力平衡，所以有$T\cos\alpha=mg$，则向心力为$F_n=T\sin\alpha=mg\tan\alpha=m\frac{v^2}{r}$，可得线速度$v=\sqrt{gl\sin\alpha\tan\alpha}$，向心力与线速度只与夹角有关，小球始终可以做匀速圆周运动。 对于图(b)，$r=l$。小球只受到竖直向下的重力$mg$，因为重力会对小球做功，所以小球无法做匀速圆周运动，只能做圆周运动。当连接的是轻绳时，在最高点时绳可能会松弛，若要满足能够做完整的圆周运动，绳子拉力$T=F_n-mg\ge 0$，$F_n=m\frac{v^2}{l}\ge mg$，即$v\ge\sqrt{gl}$。 对于图(c)，可以旋转整个参考系，看做下面的情况： 如图(d)，我们看做小球是在“水平”面做圆周运动，沿“水平”和“竖直”方向分解重力加速度，则相当于是上图(a)与图(b)中小球运动的复合状态。“竖直”方向上，加速度为$a_y=g\cos\theta$，小球线速度为$v=\sqrt{gl\cos\theta\sin\alpha\tan\alpha}$。“水平”方向上，加速度为$a_x=g\sin\theta$，线速度要满足$v\ge\sqrt{gl\sin\theta\sin\alpha}$，结合两式，可得： $$ \sqrt{gl\cos\theta\sin\alpha\tan\alpha}\ge\sqrt{gl\sin\theta\sin\alpha} \\ \cos\theta\tan\alpha\ge\sin\theta \\ \tan\alpha\ge\tan\theta $$ 因为$\alpha,\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，所以当$\alpha\ge\theta$时，小球可做圆周运动。

由于国内访问GitHub Pages速度欠佳，可以选择使用CDN加速国内流量的方式来加速GitHub Pages的访问速度。此外，还可以选择使用一台海外的Nginx主机进行代理。 首先在你的域名服务商那里添加一条国内线路，解析到自己海外的Nginx主机上，然后在Nginx中输入下面的配置（注意Nginx主机的位置不能和要加速的用户的位置一样，否则可能会发生ERR_TOO_MANY_REDIRECTS）。 server { listen 443 ssl http2; server_name www.saurlax.com; ssl_certificate /path/to/ssl.cer; ssl_certificate_key /path/to/ssl.key; location / { proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for; proxy_pass https://www.saurlax.com/; } } server { listen 80; server_name www.saurlax.com saurlax.com; return 301 https://www.saurlax.com; } server { listen 443 ssl http2; server_name saurlax.com; return 301 https://www.saurlax.com; } 上面的配置中，当用户在国内访问www.saurlax.com的时候将会解析到我的Nginx主机，因为主机在国外，流量会通过DNS直接解析到GitHub Pages的服务器。为了实现强制https和saurlax.com跳转到www.saurlax.com，还添加了另外两个配置。监听saurlax.com的80和443端口301跳转到www.saurlax.com，监听www.saurlax.com的80端口跳转到https。

任意角与弧度制 角的有关概念 角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角。 零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角。 角的相等 如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么这两个角相等。 角的加减法 角的加法 $\gamma=\alpha+\beta$。 相反角的概念 角$\alpha$的相反角是$-\alpha$。 角的减法 减去一个角等于加上这个角的相反角，即$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$。 终边相同的角 所有与角$\alpha$终边相同的角，包括角$\alpha$自己，可构成一个集合$S={\beta|\beta=\alpha+k\cdot360°,k\in \mathbb{Z}}$。 任何一个与角$\alpha$终边相同的角，都可表示成角$\alpha$与$360°k(k\in \mathbb{Z})$的和，即角$\alpha$转过了$k$圈后重合。 象限角与轴线角 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与$x$轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限就是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限角，而是轴线角。 角度制、弧度制的概念 角度制 角可以用度为单位进行度量，1度角等于周角的$\frac{1}{360}$，这种用度为单位度量角的单位制叫角度制。 弧度制 弧度制是以弧度为单位度量角的单位制，符号rad，读作弧度。1弧度的角为长度为半径长的圆弧所对的圆心角。 弧度数公式 在半径为$r$的圆中，弧长为$l$的弧所对的圆心角为$\alpha \ rad$，那么$|a|=\frac{l}{r}$。 角度与弧度的换算 弧度与角度的换算公式 周角的弧度数为$2\pi$，即$360°=2\pi \ rad$。 $1°=\frac{\pi}{180}\ rad \approx0.01745\ rad$ $1\ rad=(\frac{180}{\pi}\approx57.30°=57°18’)$ 用弧度表示终边相同的角 $\beta=2k\pi+\alpha(k\in \mathbb{Z})$，这些角组成的集合为${\beta|\beta=2k\pi+\alpha,k\in \mathbb{Z}}$。 弧长公式、扇形面积公式 设$R$为数学的半径，$n$为圆心角的角度数，$\alpha$为圆心角的弧度数，则： 弧长公式：$l=\alpha R=\frac{n\pi R}{180}$ 扇形面积公式：$S=\frac{1}{2}\alpha R^2=\frac{1}{2}lR=\frac{n\pi R^2}{360}$ 三角函数的概念 利用单位圆定义任意角的三角函数。设$P(x,y)$为平面直角坐标系内单位圆上一点，那么$y=\sin \alpha$，$x=\cos \alpha$，$\frac{y}{x}=\tan \alpha(x\neq0)$。 三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域 值域 $y=\sin \alpha$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$ $y=\cos \alpha$ $\mathbb{R}$ $[-1,1]$ $y=\tan \alpha$ ${\alpha\vert\alpha\in\mathbb{R},且\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}}$ $\mathbb{R}$ 三角函数在各个象限的符号 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 $\sin \alpha$ + + - - $\cos \alpha$ + - - + $\tan \alpha$ + - + - 同角三角函数的基本关系及变形 平方关系：$\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$ 商数关系：$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha(\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))$ $\sin ^4\alpha+\cos ^4\alpha=1-2\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha$ $\sin ^4\alpha-\cos ^4\alpha=\sin ^2\alpha-\cos ^2\alpha$ $\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}$ $\tan ^2\alpha-\sin ^2\alpha=\tan ^2\alpha\cdot \sin ^2\alpha$ $\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}=\frac{1-2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha}$ $\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\sin ^2=1-\cos ^2\alpha,\&\cos ^2=1-\sin ^2\alpha,\\&\sin \alpha=\pm\sqrt{1-\cos ^2\alpha},\\&\cos \alpha=\pm\sqrt{1-\sin ^2\alpha},\\&(\sin \alpha\pm \cos \alpha)^2=1\pm2\sin \alpha \cos \alpha....

分子动理论 物质是由大量分子组成的 还记得初中的“构成”与“组成”的区别吗？“构成”主要用于“分子由原子构成”等微观概念，“组成”则用于宏观概念 分子大小的数量级：$10^{-10}\text{m}$ 分子质量的数量级：$10^{-26}\text{kg}$ 分子体积的数量级：$10^{-31}\text{m}^3$ $1mol$任何物质中所含有的分子数，用$N_A$表示，$N_A=6.02\times10^{23}\text{mol}^{-1}$ 分子永不停息地做无规则运动 扩散现象 不同物质相接触时，物质分子可以彼此进入对方中的现象 起因：物质分子的无规则运动 范围：固体、液体、气体中都可以发送扩散现象 特点：①总是自发地从浓度大处向浓度小处扩散②扩散的快慢与物质的状态和温度有关 意义：直接证明分子在做无规则运动 布朗运动 悬浮在液体（或气体）中的微粒（不是分子，是分子的集合体）所做的无规则运动 条件：任何微粒在任何温度下悬浮在液体（或气体）中都可做布朗运动 起因：液体（或气体）分子对微粒撞击作用的不平衡 特点：①永不停息的无规则运动②微粒越小，布朗运动越明显③液体（或气体）的温度越高，布朗运动越显著 意义：布朗运动虽然不是分子的运动，但反应了液体（或气体）分子运动的情况，是分子无规则运动的间接证明 扩散现象、布朗运动和热运动的比较 分子间的作用力 气体、液体和固体分子间都存在间隙。分子间的作用力是由带正电的原子核和带负电的电子的相互作用产生的引起的。 $r<r_0$，$F_\text{引}<F_\text{斥}$，分子力表现为斥力 $r=r_0$，$F_\text{引}=F_\text{斥}$，分子处于平衡位置，$r_0\approx10^{-10}\text{m}$ $r>r_0$，$F_\text{引}>F_\text{斥}$，分子力表现为引力 分子间盈利与斥力都随分子间距离的减小而增大，但斥力变化快，分子间作用力与分子间距离并不是单调关系。 关键能力拓展 宏观量与微观量之间的关系 在$\text{STP}$（$273\text{K}(0^\circ \text{C}, 101\text{kP})$）条件下$1\text{mol}$气体体积$V_M=22.4\text{L}$ 一个分子的质量$m_0=\frac{M_{mol}}{N_A}=\frac{\rho V_{mol}}{N_A}$（固液气均适用） 一个分子的体积$V_0=\frac{V_{mol}}{N_A}=\frac{M_{mol}}{\rho N_A}$（固液适用） 物体所含分子数$N=\frac{V}{V_{mol}}\cdot N_A=\frac{m}{\rho V_{mol}}\cdot N_A=\frac{m}{M_{mol}}\cdot N_A$（固液气均适用） 物理的密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{M_{mol}}{V_{mol}}$（固液气均适用） $\rho\neq\frac{m_0}{V_0}$（固液可近似，气不等） 两种分子模型 球体模型 $\frac43\pi R^3=V_0$ $d=\sqrt[3]{\frac{6V_0}{\pi}}$ 立方体模型 $d^3=V_0$ $d=\sqrt[3]{V_0}$ 用油膜法估测油酸分子的大小 利用油酸酒精溶液在平静的水面上形成的单分子油膜，测出一定体积的油酸在水面上形成的油膜面积，用$d=\frac{V}{S}$计算出油膜的厚度，其中$V$为1滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积，$S$为油膜面积，厚度$d$就近似等于油酸分子的直径。 方法步骤 配置一定浓度的油酸酒精溶液 用注射器吸取一定量油酸酒精溶液，由注射器上的刻度读取所吸取溶液的总体积$V_N$，再把所吸取溶液一滴一滴地滴入烧杯中，记下液滴的总滴数$N$ 算出1滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积$V$ 在浅盘里盛上水，一只手捏住盛有爽身粉的布袋，另一只手拍打，将爽身粉均匀地洒在水面上 用注射器向水面上滴1滴油酸酒精溶液，油酸立即在水面散开，形成一层油膜。待油膜形状稳定后，将事先准备好的带有坐标方格的玻璃板放在浅盘上，在玻璃板上描下薄膜形状 根据画有油膜轮廓的玻璃板上的坐标方格，计算轮廓范围能正方形的个数，不足半个的舍去，多余半个的算一个。然后把正方形的个数乘以单个正方形的面积得到油膜的面积$S$ 用1滴油酸酒精溶液中纯油酸的体积$V$和该油膜面积$S$计算出油膜厚度$d=\frac{V}{S}$ 物体的内能 分子运动速率分布 气体分子运动特点 分子可以在空间自由移动而充满它所能到达的空间，故气体的体积就是容器的容积 气体分子间频繁地发生碰撞。一个空气分子在$1\text{s}$内与其他分子的碰撞达65亿次之多，分子的频繁碰撞使每个分子速度的大小和方向频繁地发生改变，造成气体分子杂乱无章的热运动 每个时刻气体分子沿各个方向运动的概率均等 分子运动速率分布 气体分子运动的速率按一定的规律分布，速率太大或速率太小的分子数目都很少。温度升高，分子运动的平均速率增大，且速率大的分子数增多，速率小的分子数减少，仍是“中间多，两头少”的分布规律。 气体压强的微观解释 气体对容器的压强是大量气体分子不断撞击器壁的结果。器壁单位面积上收到的压力就是气体的压强（$p=\frac{F}{S}$）。...

交变电流的产生及其描述 交变电流 方向随时间变化的电流，称为交变电流，简称交流，用字母AC表示，或符号“~”表示。 电流方向随时间做周期性变化，是交流电最主要的特征，也是交流电与直流电最主要的区别。 产生正弦式交变电流的基本方式 将闭合线圈置于匀强磁场，并绕垂直于磁场方向的轴做匀速转动，线圈中将产生按正弦或余弦规律变化的交流电。 方向变化 一个周期内电流的方向变化两次 线圈每次经过中性面时电流方向改变一次 中性面 匀强磁场中线圈平面与磁场方向垂直的位置称为中性面 当线圈与中性面重合时，$S\perp B, \Phi=\Phi_m, e=0$，电流方向将改变 当线圈与中性面垂直时，$S\parallel B, \Phi=0, \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$最大$, e=E_m, i=I_m$，电流方向不变 正弦式交变电流的变化规律 正弦式交变电流的瞬间值表达式 电动势的瞬间值表达式 从中性面位置开始计时：$e=NBS\omega\sin\omega t=E_m\sin\omega t$ 从平行于磁感线位置开始计时：$e=MBS\omega\cos\omega t=E_m\cos\omega t$ 电流的瞬间值表达式 $i=I_m/sin\omega t$ 线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，所产生的正弦式交变电流与转轴的位置无关 描述交变电流的物理量 周期与频率 描述交变电流变化快慢的物理量，周期越小、频率越快，变化越快 $Tf=1, \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ 瞬时值 交变电流在某时刻的电流、电压与电动势的数值，通常用字母$i$、$u$、$e$表示 峰值 最大的瞬时值，通常用$I_m$、$U_m$、$E_m$表示 $E_m=NBS\omega=N\Phi_m\omega$ $I_m=\frac{E_m}{R+r}$ $U_m=I_mR$ 平均值 交变电流的电学量对时间的平均，通常用符号$\overline{I}$、$\overline{U}$、$\overline{E}$表示 $\overline{E}=n\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=Bl\overline{v}$ 对于纯电阻电路，以下公式也适用 $\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$ $\overline{U}=\overline{I}R$ 有效值 有效值是根据电流的热效应定义的一个等效概念。让交流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交流的一个周期内他们产生的热量相等，而这个恒定电流的电流是$I$、电压是$U$，我们就把$I$、$U$叫做对应交流电的等效值。 对于正弦式交变电流 $I=\frac{I_m}{\sqrt2}\approx0.707I_m$ $U=\frac{U_m}{\sqrt2}\approx0.707U_m$ $E=\frac{E_m}{\sqrt2}\approx0.707E_m$ 对于非正弦式交变电流，可利用有效值定义来计算有效值，对纯电阻电路以下式子仍成立 $I=\frac{E}{R+r}$ $U=IR$ 变压器 原线圈：接在电源上的线圈，产生变化磁场 副线圈：连接负载的线圈，产生感应电动势 铁芯：硅钢叠合成的闭合框架，能增强磁场和集中磁感线 理想变压器 无漏磁：磁感线全部集中于铁芯内，穿过每匝原线圈和副线圈的磁通量都相同 无铜损：线圈的电阻不计，不产生热量，不引起电能损失 无铁损：铁芯中涡电流忽略不计，不发热，不引起电能损失 基本规律 $P_\text{入}=P_\text{出}$ $\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$ 只有一个副线圈时，$\frac{I_1}{I_2}=\frac{n_2}{n_1}$ 有多个副线圈时，$I_1U_1=I_2U_2+I_3U_3+\dots+I_nU_n$，$I_1n_1=I_2n_2+I_3n_3+\dots+I_nn_n$ $f_1=f_2$ 原线圈两端的电压决定副线圈两端的电压，副线圈中的电流决定原线圈中的电流，功率按需分配...

等效电阻法处理变压器问题 在只有一个副线圈的变压器电路中，我们可以通过将副线圈等效成原线圈中的一个“等效电阻”，从而简化题目，降低难度 变压器等效电阻公式推导 如图，设副线圈两端电压也就是变压器输出电压为$U_2$，将$a, b$间电路（也就是变压器）看做是原线圈中的一个等效电阻$R’$。在原电路$(1)$中，由变压器分压规律$\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$，可得$U_2=\frac{n_2}{n_1}U_1$，所以负载电阻$R$消耗的功率为$P=\frac{U_2^2}{R}=\frac{n_2^2U_1^2}{n_1^2R}$。在等效电路$(2)$中，等效电阻$R’$的功率为$P’=\frac{U_1^2}{R’}$，由输出功率相等$P=P’$可知，$R’=\frac{n_1^2}{n_2^2}R$。 通过得到的等效电阻公式，我们可以知道，在变压器问题中，如果原副线圈匝数比增大（也就是$\frac{n_1}{n_2}$增大，原线圈匝数变多，副线圈匝数变少），在负载电阻$R$不变的情况下，变压器等效电阻$R’$在等效电路中会增大，根据闭合电路规律可以知道，这种情况下，原电路中原线圈两端分压将增大，副线圈中的输出电压也将增大，在副线圈中，由$I_2=\frac{U_2}{R}$可知，副线圈电流会增大，原线圈电流会增大（千万不要分析为因为等效电阻$R’$变大了，所以原线圈中的电流会变小，因为变压器中是副线圈而不是原线圈决定电流），输出功率$P_2=U_2I_2$增大。 这个时候，如果原线圈中有电阻，比如下面图中的情况 我们分析降压变压器两端的情况，降压变压器和用户端可以等效为输电线上的一个等效电阻，当用户用电器增多时，用户电阻总电阻因为并联电路规律，$R_4$应该减小，由$R’=\frac{n_3^2}{n_4^2}R$可得，等效电阻$R’$也是会变小的，由于输电线上的总电压$U_2$由发电厂和升压变压器决定，所以不变，在输电线上，由$I_2=\frac{U_2}{R_\text{线}+R’}$可得，$I_2$实际上是变大的，这意味着$P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$会增大，$\Delta U=I_2R_\text{线}$增大，也就意味着，当用户用电器越来越多时，输电线上的损耗会越来越大，同时输电线分压也将越来越多，导致在用电高峰时用户电压可能会低于 220V。 高压输电一定能降低输电线上的损耗吗？ 还是这个熟悉的高压输电模型，我们都知道高压输电是通过$P=UI$，功率一定时，电压越高，电流越小，从而减小$P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$损耗功率的。但是，在某些情况下，高压输电反而会增加输电线上的损耗。 如图，当我们减小升压变压器的原副线圈匝数比（也就是$n_1$变小，$n_2$变大），输电线上的电压应该会增大，此时用户端电压$U_4$也会增大，在用户端，根据$I_4=\frac{U_4}{R_4}$可知，输出电流$I_4$会增大，同样的，这会导致输电线上的电流$I_3$也会增加，由串联电路规律可知，$I_2=I_3$，在这种情况下，由$P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$可知，损耗居然反而增大了！ 这是因为，在我们说高压输电降低损耗功率的时候，我们应该要强调高压输电的总功率不变。在上述情况中，$U_4$变大了，这意味这用户端的功率也就是输出功率$P_4=U_4I_4=\frac{U_4^2}{R_4}$实际上是变大了的。总功率已经不一样了，我们也就不能简单地通过$P=UI$来断言高压输电损耗变小了。实际上，在生活中的高压输电，总功率应该是不变的，上述情况要想真正的通过高压输电来减小损耗，不能只改变升压变压器的原副线圈匝数比，也要改变降压变压器的原副线圈匝数比来调节最后的输出电压$U_4$仍为 220V，这样才能保证总功率不变，从而实现降低损耗的目的。 我们再进一步分析，通过对降压变压器进行等效电阻法，我们可以将降压变压器和用户端作为输电线上的一个等效电阻$R’=\frac{n_3^2}{n_4^2}R$。同上面的分析我们可以知道，升压变压器是减小原副线圈匝数比，降压变压器就应该要增大原副线圈匝数比来达到维持 220V 不变的目的。这时，由$I_4=\frac{U_4}{R_4}$可得，$I_4$减小，从而$I_3$减小，$P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}=I_3^2R_\text{线}$减小，损耗降低。 副线圈中含有二极管的电路解法 当副线圈回路中含有二极管时，由于二极管具有单向导通性，会使交变电流只有一半时间导通，经过二极管后输出电压的有效值与副线圈两端交流电压的正常有效值不相等。经过二极管后的输出电压的有效值应根据电流的热效应进行计算（如副线圈中只有一个二极管，跟无二极管相比，只有一半时间产热，热功率为原来的一半，有效值为原来的$\frac{\sqrt2}2$倍）。

分类加法计数原理与分布乘法计数原理 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有$m$种不同的方法，在第2类方案中有$n$中不同的方法，那么完成这件事总共有$N=m+n$种不同的方法。 要求：每一类中的任一种方法都可以完成要做的事 $N=m_1+m_2+\dots+m_n$ 分布乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，第1步有$m$种不同的方法，第2步有$n$种不同的方法，那么完成这件事总共有$N=m\times n$种不同的方法。 要求：依次完成各个步骤才能完成要做的事情 $N=m_1\times m_2 \times \dots \times m_n$ 关键能力拓展 元素、位置选择法 在计数问题中常涉及元素与位置，解题时要分清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素 涂色问题 涂色问题是计数原理应用的典型问题，一般是指求用几种不同的颜色给已知图形的不同区域（或点）涂色，共有几种涂法的问题。 需要关注的图形特征：区域的个数、区域相邻情况 解决方案 选择正确的涂色顺序，一般从相邻区域最多的区域开始 根据涂色所用色数多少进行分类处理 树状图法 懂的都懂 正难则反 懂的都懂 建模法 根据具体问题，构造对应图形，直观地分析、解决较复杂问题的方法 排列与组合 排列 一般地，从$n$个不同元素中取出$m(m\leq n,n,m\in \mathbb{N}^*)$个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列。 排列具有顺序性，当排列中的元素变换位置时，就算作不同的排列。 排列数 从$n$个不同元素中取出$m(m\leq n,n,m\in \mathbb{N}^*)$个元素的所有不同排列的个数，叫做从$n$个不同的元素中取出$m$个元素的排列数，用符号$A_n^m$表示。 $A_n^m=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1),n,m\in\mathbb{N}^*,m\leq n$ 全排列 特别地，我们把$n$个不同元素全部取出的一个排列，叫做$n$个元素的一个全排列，这时公式中$m=n$，即 $A_n^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times\dots\times2\times1=n!$ 其中，$0!=1$ $A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{A_n^n}{A_{n-m}^{n-m}}$ 组合 一般地，从$n$个不同的元素中取出$m(m\leq n,n,m\in\mathbb{N}^*)$个元素作为一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。 排列与组合的区别：有序排列，无序组合 组合数 从$n$个不同的元素中取出$m(m\leq n,n,m\in\mathbb{N}^*)$个元素的所有不同组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，用符号$C_n^m$表示。 $C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1)}{m\cdot(m-1)\cdot(m-2)\cdot\dots\cdot1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 其中，$C_n^0=1$ 组合数的性质

电磁振荡 振荡电流 大小和方向都做周期性迅速变化的电流。在振荡电路里产生振荡电流的过程中，电容器极板上的电荷量$q$、电路中的电流$i$、电容器里的电场强度$E$、线圈里的磁感应强度$B$，都在周期性地变化着，这种现象就是电磁振荡。 振荡电路 产生振荡电流的电路。由线圈$L$和电容器$C$组成的电路是最简单的振荡电路，称为$LC$振荡电路。 电磁振荡的周期与频率 周期：电磁振荡完成一次周期性变化所需要的时间，即$T=2pi sqrt{LC}$。 频率：电磁振荡完成周期性变化的次数与所用时间之比，即$f=\frac{1}{2pi sqrt{LC}}$。 麦克斯韦电磁场理论 恒定的电场不产生磁场 恒定的磁场不产生电场 均匀变化的磁场在周围空间产生恒定的电场 均匀变化的电场在周围空间产生恒定的磁场 振荡电场产生同频率的振荡磁场 振荡磁场产生同频率的振荡电场 电磁波 变化的电场和磁场并不局限于空间某个区域，而是由近及远地向周围空间传播开去。电磁场这样由近及远地传播，就形成了电磁波。 电磁波是横波，电场方向、磁场方向与波的传播方向互相垂直 电磁波传播不需要介质，在真空中的传播速度最大为$c=3.0 imes 10^8 m/s$ 电磁波可以脱离“波源”独立存在 统一电磁波在不同介质中传播的频率不变，波速和波长会改变 不同频率的电磁波在同一介质中传播时波速与频率有关，频率越高，波速越小 电磁波具有波的共性，满足$v=lambda f$。能发生反射、折射、干涉、衍射、偏振、多普勒效应等现象 电磁波的发射、传播与接收 发射 发射电路要有足够高的振荡频率，频率越高，发射电磁波的本领越大。振荡电路的电场和磁场必须分散到尽量大的空间（可以使用开放电路），才能有效地把能量辐射出去。 调制 在电磁波发射技术中，使电磁波随各种信号而改变的技术叫做调制。 调幅（AM）：使高频电磁波的振幅随信号的强弱而变化 调频（FM）：使高频电磁波的频率随信号的强弱而变化 传播 天波：利用电离层的反射，主要用于中波、中短波与短波 地波：利用波在地面上传播时的衍射，用于长波 空间波（直线波）：利用波的直线传播，仅用于微波，需要中转站 电磁波谱 按电磁波的波长大小或频率高低的顺序把电磁波排列成谱。 电磁波的特性

气体 状态参量与平衡态 热力学系统 研究某一容器中气体的热学性质，其研究对象是容器中的大量分子组成的系统，这在热学中叫做热力学系统，简称系统。系统之外与系统发生相互作用的其他物体统称外界。 热学中的状态参量 体积$V$（几何参量）：确定系统的空间范围 压强$p$（力学参量）：确定外界与系统之间或系统内部各部分之间力的作用 温度$T$（热学参量）：确定系统的冷热程度 平衡态 在没有外界影响的情况下，只要经过足够长的时间，系统内各部分的状态参量能够达到稳定状态。这种状态叫平衡态（理想情况，动态平衡），否则就是非平衡态。 温度与温标 热平衡 如果两个系统相互接触而传热，这两个系统的状态参量将会互相影响而分别改变。经过一段时间，各自的状态参量就不再变化了，这说明两个系统达到了平衡。这种平衡叫热平衡。 热平衡定律 如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么这两个系统彼此之间也必定处于热平衡。 热力学温度 当两个系统处于热平衡时，表征共同热学性质的物理量叫做温度。热力学温标表示的温度叫热力学温度，用符号$T$表示。单位：开尔文，符号$K$。 摄氏温标与热力学温标的关系：$T=t+273.15\text{K}$。