三角函数

2022-12-29
高中数学

任意角与弧度制

角的有关概念

角的分类
  • 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
  • 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角。
  • 零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角。
角的相等

如果两个角的旋转方向相同且旋转量相等，那么这两个角相等。

角的加减法
角的加法

γ=α+β\gamma=\alpha+\beta。

相反角的概念

角 α\alpha 的相反角是 −α-\alpha。

角的减法

减去一个角等于加上这个角的相反角，即 α−β=α+(−β)\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)。

终边相同的角

所有与角 α\alpha 终边相同的角，包括角 α\alpha 自己，可构成一个集合 S={β∣β=α+k⋅360°,k∈Z}S=\{\beta|\beta=\alpha+k\cdot360°,k\in \mathbb{Z}\}。

任何一个与角 α\alpha 终边相同的角，都可表示成角 α\alpha 与 360°k(k∈Z)360°k(k\in \mathbb{Z}) 的和，即角 α\alpha 转过了 kk 圈后重合。

象限角与轴线角

在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与 xx 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限就是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限角，而是轴线角。

角度制、弧度制的概念

角度制

角可以用度为单位进行度量，1 度角等于周角的 1360\frac{1}{360}，这种用度为单位度量角的单位制叫角度制。

弧度制

弧度制是以弧度为单位度量角的单位制，符号 rad，读作弧度。1 弧度的角为长度为半径长的圆弧所对的圆心角。

弧度数公式

在半径为 rr 的圆中，弧长为 ll 的弧所对的圆心角为 α rad\alpha \ rad，那么 ∣a∣=lr|a|=\frac{l}{r}。

角度与弧度的换算

弧度与角度的换算公式

周角的弧度数为 2π2\pi，即 360°=2πrad360°=2\pi rad。

  • 1°=π180 rad≈0.01745rad1°=\frac{\pi}{180}\ rad \approx0.01745 rad
  • 1rad=(180π≈57.30°=57°18′)1rad=(\frac{180}{\pi}\approx57.30°=57°18')
用弧度表示终边相同的角

β=2kπ+α(k∈Z)\beta=2k\pi+\alpha(k\in \mathbb{Z})，这些角组成的集合为 {β∣β=2kπ+α,k∈Z}\{\beta|\beta=2k\pi+\alpha,k\in \mathbb{Z}\}。

弧长公式、扇形面积公式

设 RR 为数学的半径，nn 为圆心角的角度数，α\alpha 为圆心角的弧度数，则：

  • 弧长公式：l=αR=nπR180l=\alpha R=\frac{n\pi R}{180}
  • 扇形面积公式：S=12αR2=12lR=nπR2360S=\frac{1}{2}\alpha R^2=\frac{1}{2}lR=\frac{n\pi R^2}{360}

三角函数的概念

利用单位圆定义任意角的三角函数。设 P(x,y)P(x,y) 为平面直角坐标系内单位圆上一点，那么 y=sin⁡αy=\sin \alpha，x=cos⁡αx=\cos \alpha，yx=tan⁡α(x≠0)\frac{y}{x}=\tan \alpha(x\neq0)。

三角函数的定义域和值域

三角函数定义域值域
y=sin⁡αy=\sin \alphaR\mathbb{R}[−1,1][-1,1]
y=cos⁡αy=\cos \alphaR\mathbb{R}[−1,1][-1,1]
y=tan⁡αy=\tan \alpha{α∣α∈R,且α≠π2+kπ,k∈Z}\{\alpha\vert\alpha\in\mathbb{R},\text{且}\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}R\mathbb{R}

三角函数在各个象限的符号

三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限
sin⁡α\sin \alpha++--
cos⁡α\cos \alpha+--+
tan⁡α\tan \alpha+-+-

同角三角函数的基本关系及变形

  • 平方关系：sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha +\cos^2\alpha=1
  • 商数关系：sin⁡αcos⁡α=tan⁡α(α≠kπ+π2(k∈Z))\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha(\alpha\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))
  • sin⁡4α+cos⁡4α=1−2sin⁡2αcos⁡2α\sin ^4\alpha+\cos ^4\alpha=1-2\sin ^2\alpha \cos ^2\alpha
  • sin⁡4α−cos⁡4α=sin⁡2α−cos⁡2α\sin ^4\alpha-\cos ^4\alpha=\sin ^2\alpha-\cos ^2\alpha
  • cos⁡α1−sin⁡α=1+sin⁡αcos⁡α\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha}=\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}
  • tan⁡2α−sin⁡2α=tan⁡2α⋅sin⁡2α\tan ^2\alpha-\sin ^2\alpha=\tan ^2\alpha\cdot \sin ^2\alpha
  • 1−tan⁡α1+tan⁡α=1−2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α−sin⁡2α\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}=\frac{1-2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha}
  • sin⁡2α+cos⁡2α=1⇒{sin⁡2=1−cos⁡2α,&cos⁡2=1−sin⁡2α,sin⁡α=±1−cos⁡2α,cos⁡α=±1−sin⁡2α,(sin⁡α±cos⁡α)2=1±2sin⁡αcos⁡α.\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\sin ^2=1-\cos ^2\alpha,\&\cos ^2=1-\sin ^2\alpha,\\&\sin \alpha=\pm\sqrt{1-\cos ^2\alpha},\\&\cos \alpha=\pm\sqrt{1-\sin ^2\alpha},\\&(\sin \alpha\pm \cos \alpha)^2=1\pm2\sin \alpha \cos \alpha.\end{aligned}\right.
  • sin⁡αcos⁡α=tan⁡α(cos⁡α≠0)⇒{sin⁡α=tan⁡αcos⁡α,cos⁡α=sin⁡αcos⁡α(tan⁡α≠0).\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha(\cos \alpha\neq0)\Rightarrow\left\{\begin{aligned}&\sin \alpha=\tan \alpha \cos \alpha,\\&\cos \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}(\tan \alpha\neq0).\end{aligned}\right.

诱导公式

  • sin⁡(α+2kπ)=sin⁡α(k∈Z)\sin (\alpha+2k\pi)=\sin \alpha(k\in\mathbb{Z})
  • cos⁡(α+2kπ)=cos⁡α(k∈Z)\cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha(k\in\mathbb{Z})
  • tan⁡(α+2kπ)=tan⁡α(k∈Z)\tan (\alpha+2k\pi)=\tan \alpha(k\in\mathbb{Z})
  • sin⁡(α+π)=−sin⁡α\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha
  • cos⁡(α+π)=−cos⁡α\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha
  • tan⁡(α+π)=tan⁡α\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha
  • sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin\alpha
  • cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos\alpha
  • tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha)=-\tan\alpha
  • sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha
  • cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha
  • sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha