变压器与电能输送

等效电阻法处理变压器问题

在只有一个副线圈的变压器电路中，我们可以通过将副线圈等效成原线圈中的一个“等效电阻”，从而简化题目，降低难度

变压器等效电阻公式推导

如图，设副线圈两端电压也就是变压器输出电压为 $U_2$ ，将 $a, b$ 间电路（也就是变压器）看做是原线圈中的一个等效电阻 $R'$。在原电路 $(1)$ 中，由变压器分压规律 $\frac{U_1}{U_2}=\frac{n_1}{n_2}$，可得 $U_2=\frac{n_2}{n_1}U_1$，所以负载电阻 $R$ 消耗的功率为 $P=\frac{U_2^2}{R}=\frac{n_2^2U_1^2}{n_1^2R}$。在等效电路 $(2)$ 中，等效电阻 $R'$ 的功率为 $P'=\frac{U_1^2}{R'}$，由输出功率相等 $P=P'$ 可知，$R'=\frac{n_1^2}{n_2^2}R$。

通过得到的等效电阻公式，我们可以知道，在变压器问题中，如果原副线圈匝数比增大（也就是 $\frac{n_1}{n_2}$ 增大，原线圈匝数变多，副线圈匝数变少），在负载电阻 $R$ 不变的情况下，变压器等效电阻 $R'$ 在等效电路中会增大，根据闭合电路规律可以知道，这种情况下，原电路中原线圈两端分压将增大，副线圈中的输出电压也将增大，在副线圈中，由 $I_2=\frac{U_2}{R}$ 可知，副线圈电流会增大，原线圈电流会增大（千万不要分析为因为等效电阻 $R'$ 变大了，所以原线圈中的电流会变小，因为变压器中是副线圈而不是原线圈决定电流），输出功率 $P_2=U_2I_2$ 增大。

这个时候，如果原线圈中有电阻，比如下面图中的情况

我们分析降压变压器两端的情况，降压变压器和用户端可以等效为输电线上的一个等效电阻，当用户用电器增多时，用户电阻总电阻因为并联电路规律，$R_4$ 应该减小，由 $R'=\frac{n_3^2}{n_4^2}R$ 可得，等效电阻 $R'$ 也是会变小的，由于输电线上的总电压 $U_2$ 由发电厂和升压变压器决定，所以不变，在输电线上，由 $I_2=\frac{U_2}{R_\text{线}+R'}$ 可得，$I_2$ 实际上是变大的，这意味着 $P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$ 会增大，$\Delta U=I_2R_\text{线}$ 增大，也就意味着，当用户用电器越来越多时，输电线上的损耗会越来越大，同时输电线分压也将越来越多，导致在用电高峰时用户电压可能会低于 220V。

高压输电一定能降低输电线上的损耗吗？

还是这个熟悉的高压输电模型，我们都知道高压输电是通过$P=UI$，功率一定时，电压越高，电流越小，从而减小 $P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$ 损耗功率的。但是，在某些情况下，高压输电反而会增加输电线上的损耗。

如图，当我们减小升压变压器的原副线圈匝数比（也就是 $n_1$ 变小，$n_2$ 变大），输电线上的电压应该会增大，此时用户端电压 $U_4$ 也会增大，在用户端，根据 $I_4=\frac{U_4}{R_4}$ 可知，输出电流 $I_4$ 会增大，同样的，这会导致输电线上的电流 $I_3$ 也会增加，由串联电路规律可知，$I_2=I_3$，在这种情况下，由 $P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}$ 可知，损耗居然反而增大了！

这是因为，在我们说高压输电降低损耗功率的时候，我们应该要强调高压输电的总功率不变。在上述情况中，$U_4$ 变大了，这意味这用户端的功率也就是输出功率 $P_4=U_4I_4=\frac{U_4^2}{R_4}$ 实际上是变大了的。总功率已经不一样了，我们也就不能简单地通过 $P=UI$ 来断言高压输电损耗变小了。实际上，在生活中的高压输电，总功率应该是不变的，上述情况要想真正的通过高压输电来减小损耗，不能只改变升压变压器的原副线圈匝数比，也要改变降压变压器的原副线圈匝数比来调节最后的输出电压 $U_4$ 仍为 220V，这样才能保证总功率不变，从而实现降低损耗的目的。

我们再进一步分析，通过对降压变压器进行等效电阻法，我们可以将降压变压器和用户端作为输电线上的一个等效电阻 $R'=\frac{n_3^2}{n_4^2}R$。同上面的分析我们可以知道，升压变压器是减小原副线圈匝数比，降压变压器就应该要增大原副线圈匝数比来达到维持 220V 不变的目的。这时，由 $I_4=\frac{U_4}{R_4}$可得，$I_4$ 减小，从而 $I_3$ 减小，$P_\text{损}=I_2^2R_\text{线}=I_3^2R_\text{线}$ 减小，损耗降低。

副线圈中含有二极管的电路解法

当副线圈回路中含有二极管时，由于二极管具有单向导通性，会使交变电流只有一半时间导通，经过二极管后输出电压的有效值与副线圈两端交流电压的正常有效值不相等。经过二极管后的输出电压的有效值应根据电流的热效应进行计算（如副线圈中只有一个二极管，跟无二极管相比，只有一半时间产热，热功率为原来的一半，有效值为原来的 $\frac{\sqrt2}2$ 倍）。