静电场和恒定电场

电荷与库仑定律

电荷是物质的一种属性。同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。电量 $q$ 为电荷的多少，单位为库仑（C）。

电荷是量子化的，即电荷量 $q$ 只能取 $q = n \cdot e$，其中 $e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$ 为基本电荷。

电荷守恒定律：孤立系统中的总电荷量是不变的。任意时刻正负电荷的代数和保持不变。

库仑定律：真空中静止的两个点电荷 $q_1$ 和 $q_2$ 之间的相互作用力与两电荷之间的距离 $r$ 的平方成反比，与两电荷量的乘积成正比，方向沿着两电荷连线。即

$\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^3} \vec{r}$

其中 $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N}\cdot\text{m}^2$ 为真空介电常数。

电场强度与场强叠加原理

电场强度 $\vec{E}$ 是电场中单位正电荷所受的力，电场强度的方向是正电荷所受的力的方向。

空间中某一点的电场强度与该点的电荷无关，只与该点周围的电荷分布有关。可表示为

$\vec{E} = \frac{ \vec{F} }{q_0}$

场强叠加原理：点电荷系在某一点产生的电场强度等于各个点电荷在该点产生的电场强度的矢量和。即

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots + \vec{E}_n = \sum_{i=1}^n \vec{E}_i$

点电荷系的场强表达式

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i=1}^n \frac{q_i}{r_i^2} \vec{r}_i$

其中 $\vec{r}_i$ 为电荷 $q_i$ 到场点的位矢。

如果带电体的电荷分布是连续的，可改为积分形式

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\mathrm{d}q}{r^3} \vec{r}$

电偶极子：由两个相等大小、异号电荷组成的系统。电偶极子的电偶极矩 $\vec{p} = q \vec{l}$，其中 $q$ 为电荷量，$\vec{l}$ 为负电荷到正电荷的位矢。

电偶极子轴延长线上某一点的电场强度为

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2pr}{(r^2 - l^2/4)^2}$

当 $r \gg l$ 时，电偶极子的电场强度近似为

$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2\vec{p} }{r^3}$

可见电场强度方向与电矩的方向相同。

电偶极子中垂面上的电场强度为

$\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p} }{r^3}$

中垂面上的电场强度方向与电矩大小成正比，方向相反。

无限长均匀带点直线的场强公式：无限长均匀带电直线在距离直线 $r$ 处的电场强度为

$E = \frac{1}{2\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda}{r}$

其中 $\lambda$ 为线电荷密度，电场强度方向垂直于直线向外。

均匀带电细圆环的场强公式：均匀带电细圆环在环轴上距离环心 $x$ 处的电场强度为

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qx}{(x^2 + r^2)^{3/2} }$

其中 $q$ 为环上的电荷量，$r$ 为环的半径。场强方向沿环轴向外。在圆环中心时场强为零；当 $x \gg r$ 时，场强近似为

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{x^2}$

无限大均匀带电平面的场强公式：无限大均匀带电平面在距离平面 $r$ 处的电场强度为

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

静电场的高斯定理

静电场的高斯定理：闭合曲面上的电场强度的通量等于该闭合曲面内的电荷量与真空介电常数之比。即

$\Phi = \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int\mathrm{d}q$

其中 $\Phi$ 为电场强度的通量，$\vec{E}$ 为电场强度，$\mathrm{d}\vec{S}$ 为曲面元，$\mathrm{d}q$ 为闭合曲面内的电荷元。

高斯定理的微分形式：高斯定理也可以表示为微分形式

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

其中 $\nabla \cdot \vec{E}$ 为电场强度的散度，$\rho$ 为电荷密度。

电势与场强环路定理

场强环路定理：在静电场中，场强沿闭合回路的环流为零。即

$\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = 0$

说明静电场是无旋场，电场线不能是闭合曲线。

也可写成微分形式

$\nabla \times \vec{E} = 0$

其中 $\nabla \times \vec{E}$ 为电场强度的旋度。

电势：电场中单位正电荷所具有的势能称为电势。电势是标量，单位为伏特（V）。

电势公式：点电荷 $q$ 在距离 $r$ 处的电势为

$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$

其中默认电势为零的参考点为无穷远处。

电势的叠加原理：电势是标量，满足叠加原理。即

$U = U_1 + U_2 + \cdots + U_n = \sum_{i=1}^n U_i$

当电荷分布连续时，电势可表示为积分形式

$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\mathrm{d}q}{r}$

电偶极子的电势：电偶极子在距离 $r$ 处的电势为

$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^3}$

其中 $\vec{p}$ 为电偶极矩，$\vec{r}$ 为电到电偶极子中点的位矢。

电场强度与电势的关系：电场强度与电势之间满足

$U = \int \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$

也可写成微分形式

$\vec{E} = -\nabla U$

其中 $\nabla U$ 为电势的梯度。

静电场中的导体

静电平衡：当导体内部电场强度处处为零，导体表面电场强度处处垂直于导体表面时，导体处于静电平衡。即导体为等势体，表面为等势面。

实心导体内部无净电荷，电荷均匀分布在导体表面。空腔导体内部无电荷，电荷仅分布在导体外表面。

不带电的实心导体处在外电场中，其表面的的感应电荷代数和为零。带电的实心导体处在外电场中，其表面的感应电荷代数和等于导体带电量。

导体外表面的电场强度与电荷面密度的关系：导体外表面的电场强度与电荷面密度之间满足

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

其中 $E$ 为导体外表面的电场强度，$\sigma$ 为导体表面的电荷面密度。

静电场中的电介质

电介质的极化：电介质中的原子或分子在外电场作用下，正负电荷分离，使电介质内部产生极化电荷。极化电荷的总和称为极化电荷。

电介质的极化强度：电介质的极化强度 $\vec{P}$ 定义为单位体积内极化电荷的代数和。即

$\vec{P} = \frac{\sum \vec{p}}{\Delta V}$

其中 $\vec{p}$ 为分子电偶极矩，$\Delta V$ 为体积。电极化强度的单位为 $\text{C/m}^2$，与电荷面密度的单位相同。

当电介质中的电场强度较弱时，电介质的极化强度与电场强度之间满足线性关系

$\vec{P} = \varepsilon_0 \chi_\varepsilon \vec{E}$

其中 $\chi_\varepsilon$ 为电介质的电极化率。

极化电荷面密度为

$\sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}$

其中 $\vec{n}$ 为法向量。

由于极化而留在电介质内部的体束缚电荷量为

$q_\text{in} = -q_\text{out} = -\oint \vec{P} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$

电介质中的电位移矢量：电介质中的电位移矢量 $\vec{D}$ 定义为单位面积内的电荷量。电介质中静电场的高斯定理可表示为

$\oint \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \int_\text{in} \mathrm{d}q_0$

其中电位移矢量 $\vec{D}$ 由空间中的所有电荷共同决定，包括自由电荷和束缚电荷。而电位移的通量 $\oint \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S}$ 仅与自由电荷有关。

对各向同性且电场强度较弱的电介质，可得

$\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E} + \chi_\varepsilon \varepsilon_0 \vec{E} = (1 + \chi_\varepsilon) \vec{E}$

设 $\varepsilon_r = (1 + \chi_\varepsilon) \varepsilon_0$，则有

$\vec{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E} = \varepsilon \vec{E}$

其中 $\varepsilon_r$ 为电介质的相对介电常数，$\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$ 为电介质的介电常数。

静电场中的电容器

孤立导体的电容：导体带电量 $Q$ 与导体电势差 $U$ 之比称为导体的电容。即

$C = \frac{Q}{U}$

电容的单位为法拉（F）。真空中的孤立导体球的电容为

$C = 4\pi\varepsilon_0 R$

电容器：由两块导体板组成，板间填充电介质的装置称为电容器。电容器的电容 $C$ 定义为电容器两板间的电荷量 $Q$ 与两板间的电势差 $U$ 之比。即

$C = \frac{Q}{U_1-U_2}$

平行板电容器：平行板电容器的电容为

$C = \frac{\varepsilon S}{d}$

其中 $S$ 为板面积，$d$ 为板间距离。

圆柱形电容器：圆柱形电容器由两个同轴金属圆筒组成，内外圆筒的高度均为 $L$，内外半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$。圆柱形电容器的电容为

$C = \frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(R_2/R_1)}$

球形电容器：球形电容器由两个同心金属球壳组成，内外球壳的半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$。球形电容器的电容为

$C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$

当电容串联时，电容组的电容为

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \cdots + \frac{1}{C_n} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{C_i}$

耐压能力为

$U = U_1 + U_2 + \cdots + U_n = \sum_{i=1}^n U_i$

可知，串联电容器组的电容小于任意一个电容器的电容，耐压能力为各电容器的耐压能力之和。

当电容并联时，电容组的电容为

$C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n = \sum_{i=1}^n C_i$

可知，并联电容器组的电容为各电容器的电容之和，但耐压能力并未提高。

静电场的能量

电容器的能量：电容器的能量为

$W = \frac{1}{2} CU^2 = \frac{1}{2} QU$

电场能量密度：电场能量密度 $w$ 定义为单位体积内的电场能量。即

$w_e = \frac{1}{2} \varepsilon E^2$

在各向同性的电介质中，电场中储有的能量为

$W = \frac{1}{2} DE = \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E}$

恒定电场

恒定电流：电流强度为恒定的电流称为恒定电流。恒定电流的电流强度为

$I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

电流密度：电流密度 $\vec{j}$ 定义为单位面积内的电流强度。即

$\vec{j} = \frac{I}{S}$

考虑电量为 $q$，记载流子的漂移速度为 $v_d$，单位体积内以速度 $v_d$ 运动的载流子数为 $n$，则

$j = nqv_d$

对于恒定电流，通过任意闭合曲面的电流一定等于通过另一侧流出的电流。即

$\oint \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0$

说明电流线必须是闭合曲线，不能有起点或终点。

恒定电场：电场强度为恒定的电场称为恒定电场。恒定电场的电场强度为

$\vec{E} = \frac{U}{l}$

电动势：电动势 $E$ 定义为单位正电荷在电路中的电势能。即

$E = \frac{A}{q}$

闭合电路的欧姆定律：设 $R, r$ 分别为电路的总电阻和内电阻，$E$ 为电动势，$I$ 为电流强度，则有

$I = \frac{E}{R + r}$

设圆柱体导线长度为 $l$，截面积为 $S$，电阻率为 $\rho$，则有

$U = IR = I \rho \frac{l}{S}$

设导线内有均匀电流，则电流密度为 $j = I/S$。因为 $U = EL$，设 $\sigma = 1/\rho$，则有欧姆定律的微分形式

$\vec{J} = \sigma \vec{E}$

可得

$\oint_S E \cdot \mathrm{d}S = 0$

说明均匀导体的恒定电流场中，处处没有净电荷，电荷均匀分布在导体表面。