高等数学：一元函数积分学

不定积分

定义：如果在某区间 $I$ 上，$F'(x)=f(x)$ 或者 $dF(x)=f(x)dx$，那么称 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数。

定义：设 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 在某区间 $I$ 上的一个原函数，则函数族 $F(x)+C$ 表示 $f(x)$ 在 $I$ 上的一切原函数，称为 $f(x)$ 的不定积分，记作

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

其中 $x$ 为积分变量，$f(x)$ 为被积函数，$f(x)dx$ 为被积表达式，$\int$ 为积分符号。

不定积分有以下性质：

$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x) \\ d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$$

即积分运算与微分运算是互逆的——先积分后微分得到原来的被积函数，先微分后积分则相差一个常数，即 $\int df(x)=f(x)+C$。

定理：若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上存在原函数 $F(x)$。

基本积分公式与积分运算法则

• $\int kdx=kx+C$
• $\int x^\alpha dx=\frac1{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C,(\alpha\ne-1)$
• $\int\frac{dx}x=\ln|x|+C$
• $\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,(a>0,a\ne1)$
• $\int e^xdx=e^x+C$
• $\int\cos xdx=\sin x+C$
• $\int \sin xdx=-\cos x+C$
• $\int\sec^2xdx=\int\frac1{\cos^2x}dx=\tan x+C$
• $\int\csc^2xdx=\int\frac1{\sin^2x}dx=-\cot x+C$
• $\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$
• $\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C$
• $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$
• $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$
• $\int\sinh xdx=\cosh x+C$
• $\int\cosh xdx=\sinh x+C$

积分的线性运算法则：若函数 $f(x),g(x)$ 的不定积分都存在，则对不全为 0 的任意常数 $k_1,k_2$，有

$$\int[k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx$$

不定积分的计算

第一类换元法（凑微分法）：设 $\int f(x)dx=F(x)+C,u=\varphi(x)$ 是可微函数，则有换元公式

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(u)du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C$$

以下是常见的凑微分法：

• $\int\frac{f(\sqrt x)}{2\sqrt x}dx=\int f(\sqrt x)d(\sqrt x)$
• $\int\frac1{x^2}f(\frac1x)dx=-\int f(\frac1x)d(\frac1x)$​
• $\int f(ax^n+b)x^{n-1}dx=\frac1{na}\int f(ax^n+b)d(ax^n+b)$
• $\int(1-\frac1{x^2})f(x+\frac1x)dx=\int f(x+\frac1x)d(x+\frac1x)$
• $\int(1+\frac1{x^2})f(x-\frac1x)dx=\int f(x-\frac1x)d(x-\frac1x)$​
• $\int e^xf(e^x)dx=\int f(e^x)d(e^x)$
• $\int\frac{f(\ln x)}xdx=\int f(\ln x)d(\ln x)$
• $\int(1+\ln x)f(x\ln x)dx=\int f(x\ln x)d(x\ln x)$
• $\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$
• $\int f(\cos x)\sin xdx=\int f(\cos x)d(\cos x)$
• $\int f(\tan x)\sec^2xdx=\int f(\tan x)d(\tan x)$
• $\int f(\cot x)\csc^2xdx=\int f(\cot x)d(\cot x)$
• $\int f(\sec x)\sec x\tan xdx=\int f(\sec x)d(\sec x)$
• $\int f(\csc x)\csc x\cot xdx=\int f(\csc x)d(\csc x)$
• $\int\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(\arcsin x)d(\arcsin x)$
• $\int\frac{f(\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(\arccos x)d(\arccos x)$
• $\int\frac{f(\arctan x)}{1+x^2}=\int f(\arctan x)d(\arctan x)$
• $\int\frac{f(arccot x)}{1+x^2}=-\int f(arccot x)d(arccot x)$

有理函数的不定积分法

设有理函数 $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中 $P(x),Q(x)$ 分别是 $n,m$ 次多项式。若 $n<m$，则称 $R(x)$ 为真分式。若 $n\ge m$，则 $R(x)$ 可分解为多项式与真分式的和。其中，真分式能分解为以下四种最简分式的和：

$$\frac A{x-a},\frac A{(x-a)^k},\frac{bx+D}{x^2+px+q},\frac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k}\quad k=2,3,\cdots,p^2-4q<0$$

其中 $A,B,D$ 的值可以利用待定系数法求解。例如

$$\begin{aligned} \frac{2x^2-x-1}{(x+1)(x^3+1)} =& \frac{2x^2-x-1}{(x+1)^2(x^2-x+1)} \\ =& \frac A{x+1}+\frac B{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2-x+1} \end{aligned}$$

之后由

$$\begin{aligned} & A(x+1)^2+A(x^2-x+1)+B(x+1)+ \\ & B(x^2-x+1)+(Cx+D)(x+1)+(Cx+D)(x+1)^2 \\ =& (A+C)x^3+(B+2C+D)x^2+(C+2D-B)x+(A+B+D) \end{aligned}$$

可解出每个字母所对应的值。

对于前两种最简分式，可直接得到

$$\begin{aligned} \int \frac{A}{x-a}dx =& A\ln|x-a|+C \\ \int \frac{A}{(x-a)^k}dx =& -\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}}+C \\ \end{aligned}$$

对于后两种最简分式，可以使用凑微分法，如

$$\begin{aligned} \int\frac{x-\frac23}{x^2-x+1}dx =& \frac12\int\frac{(2x-1)-\frac13}{x^2-x+1}dx \\ =& \frac12\int\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1}dx-\frac16\int\frac1{x^2-x+1}dx \\ =& \frac12\int\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}-\frac16\int\frac1{(x-\frac12)^2+(\frac{\sqrt3}2)^2}dx \\ =& \frac12\ln(x^2-x+1)-\frac1{3\sqrt3}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt3}+C \end{aligned}$$

最后出现的不定积分可以使用分部积分法计算。这里直接给出后两种的不定积分的公式

$$\begin{aligned} \int\frac{bx+D}{x^2+px+q} =&\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac1a(D-\frac{pB}2)\arctan\frac ta+C \\ \int \frac{Bx+D}{(x^2+px+q)^k} =& \frac B{2(1-k)(x^2+px+q)^{k-1}}+(D-\frac{pB}2)\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^k} \end{aligned}$$

其中，$t=x+\frac p2,a=\sqrt{q-\frac{p^2}4}$。

三角函数有理式的不定积分法

一般来说，当 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ 时，可令 $u=\sin x$。当 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ 时，可令 $u=\cos x$。当 $R(-\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ 时，可令 $u=\tan x$。

第二类换元法：设 $f(x)$ 是连续函数，$x=\varphi(t)$ 有连续导数，$\varphi'(t)\ne0$，则

$$\int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt=\int g(t)dt \bigg|_{t=\varphi^{-1}(x)}$$

三角代换：若被积函数中含有 $\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2},\sqrt{x^2-a^2}$，常使用 $x=a\sin t,x=a\tan t,x=a\sec t$ 来去除根号。

分部积分法：设 $u=u(x),v=v(x)$ 都有连续导数，则

$$\int uv'dx=uv-\int vu'dx$$

定积分

定积分的定义

定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义，任取 $[a,b]$ 的一个分割 $\Delta$：

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b$$

记小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，分割 $\Delta$ 的模为 $\lambda(\Delta)=\max\limits_{1\le i\le n}\{\Delta x_i\}$。在每个小区间上任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作积分和（Riemann 和）：

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$

如果当 $\lambda(\Delta)\to0$ 时，不论分割 $\Delta$ 如何选取，也不论 $\xi_i$ 如何选取，积分和都有同一极限值 $I$，则称函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作

$$\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(\Delta)\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$$

其中 $a$ 为积分下限，$b$ 为积分上限，$[a,b]$ 为积分区间。当 $a=b$ 时，规定 $\int_a^a f(x)dx=0$。当 $a>b$ 时，规定 $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$。

可积的条件：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定积分的几何意义

若 $f(x)\ge0$，则 $\int_a^b f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a,x=b$ 及 $x$ 轴所围成的曲边梯形的面积。若 $f(x)\le0$，则定积分为负值，其绝对值等于对应的曲边梯形面积。一般地，定积分等于 $x$ 轴上方面积与下方面积之差。

定积分的性质

线性性：若 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$k_1,k_2$ 为任意常数，则

$$\int_a^b [k_1f(x)+k_2g(x)]dx=k_1\int_a^b f(x)dx+k_2\int_a^b g(x)dx$$

区间可加性：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则对任意 $c\in(a,b)$，有

$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$$

单调性（保号性）：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge0$，则 $\int_a^b f(x)dx\ge0$。若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则 $\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx$。

估值定理：设 $M,m$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，则

$$m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a)$$

积分中值定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则至少存在一点 $\xi\in[a,b]$，使得

$$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

其中 $f(\xi)$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的积分平均值。用几何语言说，连续曲线在 $[a,b]$ 上围成的曲边梯形的面积等于以区间长度为底、某点函数值为高的矩形面积。

上述性质对 $a>b$ 也成立，只需注意上下限顺序。

微积分基本定理

定义（变上限积分函数）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则对任意 $x\in[a,b]$，定义

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$$

称 $\Phi(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的变上限积分函数。

原函数存在定理：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则变上限积分函数 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\quad(a\le x\le b)$$

这说明连续函数一定有原函数，并且变上限积分就是 $f(x)$ 的一个原函数。这一结论直接打通了不定积分和定积分之间的桥梁。

一般地，若上限是 $x$ 的函数 $\varphi(x)$，则

$$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)$$

若上下限都是 $x$ 的函数，则

$$\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$$

Newton-Leibniz 公式（微积分基本公式）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，则

$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$

记作 $F(x)\big|_a^b$。这个公式把定积分的计算转化为了求原函数的问题——找到原函数后直接代入上下限做差即可，也是我们日常算定积分的基本方式。

定积分的换元积分法

定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=\varphi(t)$ 满足：

• $\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$，并且当 $t$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上变化时，$\varphi(t)$ 的值在 $[a,b]$ 上变化；
• $\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$（或 $[\beta,\alpha]$）上有连续导数，

则

$$\int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$$

和不定积分的第二类换元法相比，定积分换元时不需要将变量换回 $x$，因为上下限也跟着变换了，算完直接代入新变量对应的限就行。但要注意换元时必须同时更换积分限，而且当 $\varphi'(t)$ 在某处变号时，需要分段处理。

还有一些实用的简化技巧：若 $f(x)$ 在对称区间 $[-a,a]$ 上连续，则

$$\int_{-a}^a f(x)dx=\begin{cases} 0,&f(x)\text{ 为奇函数}\\ 2\int_0^a f(x)dx,&f(x)\text{ 为偶函数} \end{cases}$$

若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的连续函数，则 $\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx$，即积分值与起点无关。

定积分的分部积分法

设 $u(x),v(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数，则

$$\int_a^b uv'dx=uv\bigg|_a^b-\int_a^b vu'dx$$

或写作

$$\int_a^b udv=uv\bigg|_a^b-\int_a^b vdu$$

和不定期积分类似，选 $u$ 和 $dv$ 的策略也是一样的——按照”反对幂指三”的优先顺序选 $u$，剩下的作为 $dv$。公式里的 $uv\big|_a^b$ 表示先在原函数层面完成乘积，再代入上下限做差。

反常积分

无穷限反常积分

定义：设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，若极限

$$\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)dx$$

存在，则称反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛，并定义其值为该极限值。若极限不存在，则称该反常积分发散。

类似地可定义 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 和 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$。对于后者，需要两个无穷限各自收敛才算整体收敛：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^c f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx$$

常用的无穷限反常积分结果：$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 当 $p>1$ 时收敛于 $\frac1{p-1}$，当 $p\le1$ 时发散。

无界函数反常积分（瑕积分）

定义：设 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\infty$（称 $x=a$ 为瑕点），若极限

$$\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$$

存在，则称瑕积分 $\int_a^b f(x)dx$ 收敛，否则发散。

若瑕点在区间内部，则将积分拆分为两段分别判断。常用的瑕积分结果：$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 当 $p<1$ 时收敛于 $\frac1{1-p}$，当 $p\ge1$ 时发散。

$\Gamma$ 函数

定义：$\Gamma$ 函数由含参变量 $s$ 的反常积分定义：

$$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx\quad(s>0)$$

$\Gamma$ 函数在 $s>0$ 时收敛，且具有以下性质：

• 递推公式：$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
• 特殊值：$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$
• 阶乘推广：当 $s$ 为正整数 $n$ 时，$\Gamma(n)=(n-1)!$

利用换元 $x=u^2$，$\Gamma$ 函数还能联系上 Gaussian 积分：

$$\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\frac{\sqrt\pi}2$$

定积分的应用

微元法

定积分的应用大多遵循”微元法”的思路：把要求的总量 $Q$ 想象成分布在区间 $[a,b]$ 上的连续量，对任意小区间 $[x,x+dx]$，先求出其局部近似值 $dQ=f(x)dx$（微元），然后在 $[a,b]$ 上积分：

$$Q=\int_a^b dQ=\int_a^b f(x)dx$$

这种”以直代曲、积零为整”的策略贯穿了所有几何和物理应用场景。

平面图形的面积

直角坐标系：由曲线 $y=f(x),y=g(x)$ 及 $x=a,x=b$ 围成的平面图形面积，取微元为窄矩形条，其高为 $|f(x)-g(x)|$，宽为 $dx$：

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx$$

若 $f(x)\ge g(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒成立，绝对值可去掉。当曲线以 $x$ 为因变量时（即 $x=\varphi(y)$），公式对称为

$$A=\int_c^d|\varphi(y)-\psi(y)|dy$$

极坐标系：由曲线 $r=r(\theta)$ 及射线 $\theta=\alpha,\theta=\beta$ 围成的曲边扇形面积，以扇形面积 $\frac12r^2d\theta$ 为微元：

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$$

若图形由两条极坐标曲线 $r=r_1(\theta),r=r_2(\theta)$ 围成，则取二者扇形面积之差再积分即可。

旋转体体积

绕 $x$ 轴旋转：曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体，取微元为以 $|f(x)|$ 为半径、$dx$ 为厚的薄圆盘：

$$V=\pi\int_a^b f^2(x)dx$$

绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）：曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上绕 $y$ 轴旋转时，取微元为以 $x$ 为半径、$f(x)$ 为高、$dx$ 为厚的薄柱壳：

$$V=2\pi\int_a^b x|f(x)|dx$$

这两种思路分别对应”圆盘法”和”柱壳法”，视具体问题选起来更方便的那个。如果绕的不是坐标轴，只需要平移坐标系就行。

一般截面法：若立体在 $x$ 处的截面面积为 $A(x)$，则体积为

$$V=\int_a^b A(x)dx$$

这个思路很普适——平行截面面积函数已知的立体都能用它算体积。

曲线弧长

直角坐标：设曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上光滑（即 $f'(x)$ 连续），取弧微分 $ds=\sqrt{1+y'^2}dx$，则弧长为

$$s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

参数方程：设曲线 $x=\varphi(t),y=\psi(t)\ (\alpha\le t\le\beta)$ 光滑，则

$$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt$$

极坐标：设曲线 $r=r(\theta)\ (\alpha\le\theta\le\beta)$ 光滑，则

$$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r'(\theta)]^2+[r(\theta)]^2}d\theta$$

旋转曲面面积

曲线 $y=f(x)\ge0$ 在 $[a,b]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积，取微元为圆台侧面积 $2\pi yds$，其中 $ds$ 为弧微分：

$$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$

绕 $y$ 轴旋转时公式对称为 $S=2\pi\int_a^b x\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$。同样地，参数方程和极坐标下也有对应的表达，关键是搞清楚微元中”旋转半径”是谁。

点火公式

点火公式（Wallis 公式）用于计算 $\sin^n x$ 和 $\cos^n x$ 在 $[0,\frac\pi2]$ 上的定积分：

$$I_n=\int_0^{\frac\pi2}\sin^nxdx=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nxdx$$

使用分部积分可以推出递推公式 $I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$。反复递推就得到点火公式：

• 当 $n$ 为偶数时：

$$I_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2$$

• 当 $n$ 为奇数时：

$$I_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac45\cdot\frac23\cdot1$$

这个名字挺有意思的——式子写成连乘后，分子分母交替递减，像一根引线一样”一路点上去”，最后看 $n$ 的奇偶决定是停在 $\frac\pi2$ 还是 $1$。做题时碰到 $\sin^n x$ 或 $\cos^n x$ 在 $0$ 到 $\frac\pi2$ 上的积分，直接套公式比用倍角公式生算快不少。

利用换元，这个公式还能推广到 $[0,\pi]$ 和 $[0,2\pi]$ 上的积分：先根据对称性把区间折半处理，转化为 $[0,\frac\pi2]$ 上的积分，再用点火公式算结果。