信号与系统

信号与系统基础

信号与系统的概念

信号是载有信息的物理量，例如语音信号、图像信号、生物医学信号等。从数学角度看，信号是一个或多个变量的函数。常见的信号包括：

• 一维信号：$f(t)$ 表示随时间变化的信号，如语音信号
• 二维信号：$f(x,y)$ 表示随空间变化的信号，如图像信号
• 多维信号：$f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 如彩色视频信号

系统是对信号进行某种变换或处理的实体，可以用数学模型来描述输入信号与输出信号之间的关系。系统将输入信号 $x(t)$ 变换为输出信号 $y(t)$，记作：

$$y(t) = T[x(t)]$$

其中 $T[\cdot]$ 表示系统的变换算子。

信号的描述、分类和典型示例

信号可以从多个维度进行分类：

按自变量连续性分类：

• 连续时间信号：在连续时间区间内有定义，如 $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$
• 离散时间信号：只在离散时间点有定义，如 $x[n] = A\cos(\Omega n + \phi)$

按信号值连续性分类：

• 模拟信号：信号值连续变化
• 数字信号：信号值量化为有限个离散值

按周期性分类：

• 周期信号：满足 $x(t) = x(t + T)$ 的信号，其中 $T$ 为周期
• 非周期信号：不满足周期性条件的信号

按能量特性分类：

• 能量信号：总能量有限，即 $E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt < \infty$
• 功率信号：平均功率有限，即 $P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt < \infty$

典型信号示例：

1. 正弦信号：$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$，其中 $A$ 为幅度，$\omega$ 为角频率，$\phi$ 为初相位
2. 指数信号：$x(t) = Ae^{st}$，当 $s = j\omega$ 时为复指数信号
3. 阶跃信号：$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$
4. 冲激信号：$\delta(t)$，满足筛选性质 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-t_0) dt = f(t_0)$

信号的运算

信号运算包括基本的代数运算和变量变换：

代数运算：

• 加法：$(x_1 + x_2)(t) = x_1(t) + x_2(t)$
• 乘法：$(x_1 \cdot x_2)(t) = x_1(t) \cdot x_2(t)$
• 数乘：$(ax)(t) = a \cdot x(t)$

变量变换：

• 时移：$x(t - t_0)$ 表示信号右移 $t_0$
• 尺度变换：$x(at)$ 当 $|a| > 1$ 时压缩，$|a| < 1$ 时扩展
• 反折：$x(-t)$ 表示信号关于 $t = 0$ 反折

这些运算可以组合使用，例如 $x(2t-3) = x[2(t-1.5)]$ 表示先右移 1.5 个单位，再压缩 2 倍。

阶跃信号与冲激信号

单位阶跃信号 $u(t)$ 是系统分析中的重要信号：

$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$$

单位冲激信号 $\delta(t)$ 可以看作阶跃信号的导数：

$$\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$$

冲激信号具有重要的数学性质：

1. 筛选性质：$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-t_0) dt = f(t_0)$
2. 卷积性质：$f(t) * \delta(t-t_0) = f(t-t_0)$
3. 尺度变换：$\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$

信号的分解

任何信号都可以分解为更简单的基本信号的线性组合。常见的分解方法包括：

奇偶分解： 任何信号 $x(t)$ 都可以分解为奇分量和偶分量：

$$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$

其中：

• 偶分量：$x_e(t) = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]$
• 奇分量：$x_o(t) = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]$

冲激信号分解： 任何信号都可以表示为冲激信号的加权积分：

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\delta(t-\tau) d\tau$$

这为后续的卷积分析奠定了基础。

系统理论基础

系统模型及其分类

系统可以从多个角度进行分类：

按输入输出数量分类：

• 单输入单输出（SISO）系统
• 多输入多输出（MIMO）系统

按系统参数分类：

• 时不变系统：系统参数不随时间变化
• 时变系统：系统参数随时间变化

按系统特性分类：

• 线性系统：满足叠加原理
• 非线性系统：不满足叠加原理

按系统实现分类：

• 因果系统：输出只依赖于当前和过去的输入
• 非因果系统：输出依赖于未来的输入

按系统稳定性分类：

• 稳定系统：有界输入产生有界输出
• 不稳定系统：有界输入可能产生无界输出

线性时不变系统

线性时不变（LTI）系统是信号与系统理论的核心研究对象。

线性性质包括齐次性和叠加性：

• 齐次性：$T[ax(t)] = aT[x(t)]$
• 叠加性：$T[x_1(t) + x_2(t)] = T[x_1(t)] + T[x_2(t)]$

时不变性质： 如果 $y(t) = T[x(t)]$，那么 $y(t-t_0) = T[x(t-t_0)]$

LTI 系统的重要性在于：

1. 可以用常系数微分方程或差分方程描述
2. 具有完整的数学分析方法
3. 广泛存在于实际工程系统中

LTI 系统分析方法概述

LTI 系统有三种主要的分析方法：

1. 时域分析：直接在时间域分析系统响应
2. 频域分析：通过傅里叶变换在频率域分析
3. 复频域分析：通过拉普拉斯变换在复频域分析

每种方法都有其适用场景和优势，构成了完整的系统分析框架。

连续时间系统的时域分析

系统数学模型的建立

连续时间 LTI 系统通常用常系数线性微分方程描述：

$$\sum_{k=0}^{n} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{m} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}$$

其中 $x(t)$ 是输入，$y(t)$ 是输出，$a_k$ 和 $b_k$ 是常数系数。

RC 电路示例： 对于一阶 RC 低通滤波器，根据基尔霍夫定律可得：

$$RC\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)$$

这是一个一阶线性微分方程，其中时间常数 $\tau = RC$。

用时域经典法求解微分方程

微分方程的解由齐次解（自然响应）和特解（强迫响应）组成：

$$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$$

齐次解求解步骤：

1. 写出特征方程：$\sum_{k=0}^{n} a_k \lambda^k = 0$
2. 求解特征根
3. 根据特征根的性质写出齐次解

特解求解： 根据输入信号的形式假设特解的形式，然后代入原方程求解待定系数。

起始点的跳变

当输入信号在 $t = 0$ 处包含冲激信号或其导数时，系统的状态变量可能发生跳变。这种跳变需要通过从 $0^-$ 到 $0^+$ 的状态转换来分析。

状态转换的一般原则：

1. 包含电容的电路中，电容电压不能突变
2. 包含电感的电路中，电感电流不能突变
3. 冲激信号会引起状态变量的跳变

零输入响应与零状态响应

LTI 系统的完全响应可以分解为：

$$y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$$

零输入响应 $y_{zi}(t)$：输入为零时，仅由初始条件引起的响应 零状态响应 $y_{zs}(t)$：初始条件为零时，仅由输入引起的响应

这种分解方法在分析系统瞬态和稳态行为时非常有用。

冲激响应与阶跃响应

冲激响应 $h(t)$：系统在单位冲激信号 $\delta(t)$ 作用下的零状态响应 阶跃响应 $s(t)$：系统在单位阶跃信号 $u(t)$ 作用下的零状态响应

两者之间存在微积分关系：

$$h(t) = \frac{ds(t)}{dt}$$ $$s(t) = \int_{-\infty}^{t} h(\tau) d\tau$$

冲激响应是 LTI 系统最重要的特征函数，因为它完全刻画了系统的特性。

卷积

卷积是 LTI 系统分析的核心数学工具。对于输入 $x(t)$ 和冲激响应 $h(t)$，系统的零状态响应为：

$$y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)h(t-\tau) d\tau$$

卷积的图解方法：

1. 将 $h(\tau)$ 反折得到 $h(-\tau)$
2. 平移得到 $h(t-\tau)$
3. 与 $x(\tau)$ 相乘
4. 对 $\tau$ 积分得到 $t$ 时刻的输出

卷积的性质

卷积运算具有以下重要性质：

1. 交换律：$x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$
2. 结合律：$[x(t) * h_1(t)] * h_2(t) = x(t) * [h_1(t) * h_2(t)]$
3. 分配律：$x(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = x(t) * h_1(t) + x(t) * h_2(t)$
4. 时移性质：$x(t-t_1) * h(t-t_2) = y(t-t_1-t_2)$

这些性质在系统级联、并联分析中有重要应用。

多径失真的消除

在通信系统中，信号经过多径传播会产生失真。设原始信号为 $s(t)$，多径信道的冲激响应为：

$$h(t) = \alpha_0\delta(t) + \alpha_1\delta(t-\tau_1) + \alpha_2\delta(t-\tau_2) + ...$$

接收信号为：

$$r(t) = s(t) * h(t)$$

为了消除多径失真，可以设计均衡器，其冲激响应 $h_{eq}(t)$ 满足：

$$h(t) * h_{eq}(t) = \delta(t)$$

用算子符号表示微分方程

引入微分算子 $D = \frac{d}{dt}$，微分方程可以写成算子形式：

$$P(D)y(t) = Q(D)x(t)$$

其中：

• $P(D) = \sum_{k=0}^{n} a_k D^k$
• $Q(D) = \sum_{k=0}^{m} b_k D^k$

系统函数可以表示为：

$$H(D) = \frac{Q(D)}{P(D)}$$

这种表示方法为后续的变换域分析提供了桥梁。

傅里叶变换

周期信号的傅里叶级数分析

周期信号可以分解为谐波分量的无穷级数：

三角形式的傅里叶级数：

$$x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)]$$

其中：

• $a_0 = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) dt$
• $a_n = \frac{2}{T} \int_{T} x(t)\cos(n\omega_0 t) dt$
• $b_n = \frac{2}{T} \int_{T} x(t)\sin(n\omega_0 t) dt$

指数形式的傅里叶级数：

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n e^{jn\omega_0 t}$$

其中：

$$X_n = \frac{1}{T} \int_{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt$$

指数形式在数学处理上更为简便，是现代信号处理的基础。

典型周期信号的傅里叶级数

方波信号： 周期方波的傅里叶级数只包含奇次谐波：

$$x(t) = \frac{4A}{\pi} \sum_{n=1,3,5,...} \frac{1}{n} \sin(n\omega_0 t)$$

这说明方波包含丰富的高频成分，这在数字电路中会引起电磁干扰。

锯齿波信号：

$$x(t) = \frac{2A}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(n\omega_0 t)$$

锯齿波包含所有整数次谐波，幅度按 $1/n$ 衰减。

傅里叶变换

对于非周期信号，傅里叶变换将信号从时域变换到频域：

傅里叶变换对：

$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$$ $$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$$

$X(j\omega)$ 称为 $x(t)$ 的频谱，它描述了信号在各个频率上的分布。

典型非周期信号的傅里叶变换

矩形脉冲：

$$x(t) = \begin{cases} A, & |t| \leq \tau/2 \\ 0, & |t| > \tau/2 \end{cases}$$

其傅里叶变换为：

$$X(j\omega) = A\tau \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2} = A\tau \text{sinc}(\omega\tau/2)$$

这是一个 sinc 函数，主瓣宽度与脉冲宽度成反比，体现了时域和频域的对偶关系。

指数衰减信号：

$$x(t) = e^{-at}u(t), \quad a > 0$$

其傅里叶变换为：

$$X(j\omega) = \frac{1}{a + j\omega}$$

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

单位冲激函数：

$$\mathcal{F}[\delta(t)] = 1$$

这表明冲激函数包含所有频率成分，且各频率分量的幅度相等。

单位阶跃函数：

$$\mathcal{F}[u(t)] = \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$$

阶跃函数的频谱包含直流分量和按 $1/\omega$ 衰减的分量。

傅里叶变换的基本性质

线性性质：

$$\mathcal{F}[ax_1(t) + bx_2(t)] = aX_1(j\omega) + bX_2(j\omega)$$

时移性质：

$$\mathcal{F}[x(t-t_0)] = X(j\omega)e^{-j\omega t_0}$$

时移在频域表现为相位的线性变化。

频移性质：

$$\mathcal{F}[x(t)e^{j\omega_0 t}] = X(j(\omega-\omega_0))$$

尺度变换性质：

$$\mathcal{F}[x(at)] = \frac{1}{|a|}X(j\frac{\omega}{a})$$

时域压缩对应频域扩展，体现了不确定性原理。

微分性质：

$$\mathcal{F}[\frac{dx(t)}{dt}] = j\omega X(j\omega)$$

积分性质：

$$\mathcal{F}[\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau] = \frac{X(j\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega)$$

卷积特性

时域卷积定理：

$$\mathcal{F}[x_1(t) * x_2(t)] = X_1(j\omega) \cdot X_2(j\omega)$$

频域卷积定理：

$$\mathcal{F}[x_1(t) \cdot x_2(t)] = \frac{1}{2\pi} X_1(j\omega) * X_2(j\omega)$$

这是傅里叶变换最重要的性质之一，它将复杂的时域卷积运算转化为简单的频域乘法运算。

周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换是冲激函数的线性组合：

$$X(j\omega) = 2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} X_n \delta(\omega - n\omega_0)$$

其中 $X_n$ 是傅里叶级数系数。这建立了傅里叶级数和傅里叶变换之间的联系。

抽样信号的傅里叶变换

理想抽样信号可以表示为：

$$x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s)$$

其频谱为：

$$X_s(j\omega) = \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty} X(j(\omega - n\omega_s))$$

抽样导致频谱的周期性延拓。

抽样定理

奈奎斯特抽样定理： 如果连续信号 $x(t)$ 是带限的，即 $X(j\omega) = 0$ 当 $|\omega| > \omega_m$，那么当抽样频率 $\omega_s \geq 2\omega_m$ 时，可以从抽样信号完全恢复原信号。

恢复公式：

$$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \frac{\sin[\omega_m(t-nT_s)]}{\omega_m(t-nT_s)}$$

抽样定理是数字信号处理的理论基础。

雷达测距原理

雷达通过发射电磁波脉冲并接收反射回来的信号来测量目标距离。设发射信号为 $s(t)$，目标距离为 $R$，则接收到的回波信号为：

$$r(t) = \alpha s(t - \frac{2R}{c})$$

其中 $c$ 是光速，$\alpha$ 是反射系数。通过测量时延 $\tau = \frac{2R}{c}$ 可以计算目标距离：

$$R = \frac{c\tau}{2}$$

雷达信号的频谱特性决定了测距精度和分辨率。

拉普拉斯变换与 s 域分析

拉普拉斯变换的定义与收敛域

双边拉普拉斯变换：

$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

单边拉普拉斯变换：

$$X(s) = \int_{0^-}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

其中 $s = \sigma + j\omega$ 是复频率变量。

收敛域（ROC）： 拉普拉斯变换存在的复平面区域。ROC 的性质：

1. ROC 是复平面上的带状区域
2. ROC 内不包含极点
3. 因果信号的 ROC 是某个垂直线右侧的区域

拉普拉斯变换的基本性质

线性性质：

$$\mathcal{L}[ax_1(t) + bx_2(t)] = aX_1(s) + bX_2(s)$$

时移性质：

$$\mathcal{L}[x(t-t_0)u(t-t_0)] = e^{-st_0}X(s)$$

s 域平移性质：

$$\mathcal{L}[e^{s_0 t}x(t)] = X(s-s_0)$$

尺度变换性质：

$$\mathcal{L}[x(at)] = \frac{1}{a}X(\frac{s}{a})$$

微分性质：

$$\mathcal{L}[\frac{dx(t)}{dt}] = sX(s) - x(0^-)$$

这个性质在求解微分方程时特别有用。

积分性质：

$$\mathcal{L}[\int_{0^-}^{t} x(\tau) d\tau] = \frac{X(s)}{s}$$

拉普拉斯逆变换

部分分式展开法： 当 $X(s)$ 是有理函数时，可以通过部分分式展开求逆变换：

$$X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s-p_j)^2 + \omega_j^2}$$

然后利用基本变换对求逆变换。

留数法： 对于复杂的有理函数，可以使用留数定理：

$$x(t) = \sum_i \text{Res}[X(s)e^{st}, s_i]$$

用拉普拉斯变换分析电路

s 域元件模型：

• 电阻：$R$
• 电容：$\frac{1}{sC}$，初始电压源：$\frac{V_0}{s}$
• 电感：$sL$，初始电流源：$I_0$

RC 电路示例： 对于 RC 串联电路，传递函数为：

$$H(s) = \frac{1}{RCs + 1} = \frac{1/RC}{s + 1/RC}$$

这是一个一阶低通滤波器，截止频率为 $\omega_c = 1/RC$。

系统函数 H(s)

系统函数定义为系统零状态响应的拉普拉斯变换与输入信号拉普拉斯变换的比值：

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

对于用微分方程描述的系统：

$$\sum_{k=0}^{n} a_k \frac{d^k y(t)}{dt^k} = \sum_{k=0}^{m} b_k \frac{d^k x(t)}{dt^k}$$

系统函数为：

$$H(s) = \frac{\sum_{k=0}^{m} b_k s^k}{\sum_{k=0}^{n} a_k s^k}$$

零极点分布决定时域特性

系统函数的零极点分布完全决定了系统的时域响应特性：

极点位置与时域响应的关系：

• 实数极点 $p = -\alpha$：对应 $e^{-\alpha t}$ 的指数衰减项
• 共轭复数极点 $p = -\alpha \pm j\beta$：对应 $e^{-\alpha t}\cos(\beta t + \phi)$ 的衰减振荡项
• 虚轴上的极点：对应等幅振荡或阶跃响应
• 右半平面的极点：对应发散的响应

极点位置示例：

1. $p = -2$：响应包含 $e^{-2t}$ 项，快速衰减
2. $p = -1 \pm j2$：响应包含 $e^{-t}\cos(2t + \phi)$ 项，衰减振荡
3. $p = \pm j3$：响应包含 $\cos(3t + \phi)$ 项，等幅振荡

零极点分布决定频响特性

系统的频率响应 $H(j\omega)$ 可以从系统函数 $H(s)$ 通过 $s = j\omega$ 得到。

频响的几何解释：

$$|H(j\omega)| = \frac{\prod_i |j\omega - z_i|}{\prod_k |j\omega - p_k|}$$ $$\angle H(j\omega) = \sum_i \angle(j\omega - z_i) - \sum_k \angle(j\omega - p_k)$$

• 零点使频响幅度减小，极点使频响幅度增大
• 靠近虚轴的极点会产生频响峰值
• 零点会产生频响谷值或零点

二阶谐振系统的 s 平面分析

二阶系统的传递函数通常写成：

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$$

其中 $\omega_n$ 是自然频率，$\zeta$ 是阻尼比。

极点位置：

$$p_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}$$

不同阻尼情况：

1. $\zeta > 1$（过阻尼）：两个不同的实数极点
2. $\zeta = 1$（临界阻尼）：两个相等的实数极点
3. $0 < \zeta < 1$（欠阻尼）：一对共轭复数极点
4. $\zeta = 0$（无阻尼）：一对纯虚数极点

全通函数与最小相移函数

全通函数：

$$H_{ap}(s) = \frac{s - a}{s + a}$$

全通函数的幅频响应为常数，只改变相位：

$$|H_{ap}(j\omega)| = 1$$

最小相移函数： 所有零极点都在左半平面的系统函数，在给定幅频响应的所有可能系统中具有最小的相移。

最大相移函数： 所有零点都在右半平面，极点在左半平面的系统函数。

线性系统的稳定性

BIBO 稳定性： 有界输入有界输出稳定，即有界输入产生有界输出。

稳定性判据：

1. 时域判据：$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty$
2. s 域判据：所有极点都在左半平面（开环稳定性）

边界稳定： 系统有虚轴上的一阶极点，此时系统处于稳定边界。

双边拉普拉斯变换

双边拉普拉斯变换适用于双边信号（$t \in (-\infty, \infty)$）：

$$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$$

双边变换的 ROC 可能是：

1. 带状区域：$\sigma_1 < \text{Re}(s) < \sigma_2$
2. 右半平面：$\text{Re}(s) > \sigma_0$
3. 左半平面：$\text{Re}(s) < \sigma_0$

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

当 ROC 包含虚轴时，傅里叶变换存在且等于拉普拉斯变换在虚轴上的值：

$$X(j\omega) = X(s)|_{s=j\omega}$$

拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换的推广，它将分析范围扩展到了复频域。

傅里叶变换在通信系统中的应用

利用系统函数 H(jω)求响应

在频域中，LTI 系统的输出为：

$$Y(j\omega) = H(j\omega) \cdot X(j\omega)$$

通过逆傅里叶变换得到时域响应：

$$y(t) = \mathcal{F}^{-1}[Y(j\omega)]$$

这种方法在分析频率选择性系统时特别有效。

无失真传输

理想的无失真传输要求输出信号只是输入信号的延时和幅度缩放：

$$y(t) = Kx(t - t_d)$$

对应的频域条件为：

$$H(j\omega) = Ke^{-j\omega t_d}$$

即系统的幅频响应为常数，相频响应为线性函数。

实际系统的失真类型：

1. 幅度失真：$|H(j\omega)|$ 不为常数
2. 相位失真：$\angle H(j\omega)$ 不是频率的线性函数
3. 群延时失真：$\tau_g(\omega) = -\frac{d\angle H(j\omega)}{d\omega}$ 不为常数

理想低通滤波器

理想低通滤波器的频率响应为：

$$H(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \leq \omega_c \\ 0, & |\omega| > \omega_c \end{cases}$$

其冲激响应为：

$$h(t) = \frac{\omega_c}{\pi} \frac{\sin(\omega_c t)}{\omega_c t} = \frac{\omega_c}{\pi} \text{sinc}(\omega_c t)$$

理想滤波器的特点：

1. 冲激响应为双边无限长
2. 非因果系统（不可物理实现）
3. 阶跃响应有吉布斯现象

系统的物理可实现性

佩利-维纳准则： 一个频率响应 $H(j\omega)$ 对应于因果稳定系统的充分必要条件是：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln|H(j\omega)||}{1 + \omega^2} d\omega < \infty$$

这个准则说明：

1. $|H(j\omega)|$ 不能在任何频率上为零（除非有限个点）
2. $|H(j\omega)|$ 不能过快地趋于零

希尔伯特变换

希尔伯特变换定义为：

$$\hat{x}(t) = \mathcal{H}[x(t)] = \frac{1}{\pi t} * x(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau$$

希尔伯特变换的性质：

1. $\mathcal{F}[\hat{x}(t)] = -j\text{sgn}(\omega)X(j\omega)$
2. 希尔伯特变换将信号各频率分量移相 90°
3. 对于因果稳定系统，幅频响应和相频响应通过希尔伯特变换相关

最小相移系统的约束：

$$\ln|H(j\omega)| = -\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\angle H(j\nu)}{\omega - \nu} d\nu$$

调制与解调

幅度调制（AM）：

$$x_c(t) = [A + m(t)]\cos(\omega_c t)$$

其中 $m(t)$ 是基带信号，$A$ 是直流分量。频谱为：

$$X_c(j\omega) = \pi A[\delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c)] + \frac{1}{2}[M(j(\omega - \omega_c)) + M(j(\omega + \omega_c))]$$

双边带调制（DSB）：

$$x_c(t) = m(t)\cos(\omega_c t)$$

频谱为：

$$X_c(j\omega) = \frac{1}{2}[M(j(\omega - \omega_c)) + M(j(\omega + \omega_c))]$$

单边带调制（SSB）： 通过滤除 DSB 信号的一个边带得到，可以节省一半带宽。

频率调制（FM）：

$$x_c(t) = A\cos[\omega_c t + k_f \int_{-\infty}^{t} m(\tau) d\tau]$$

FM 信号的带宽通常比 AM 信号大，但抗噪声性能更好。

带通滤波系统的运用

带通滤波器用于选择特定频段的信号：

$$H_{bp}(j\omega) = \begin{cases} 1, & \omega_1 \leq |\omega| \leq \omega_2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

应用示例：

1. 通信接收机：选择特定频道的信号
2. 生物医学信号处理：滤除特定频段的干扰
3. 音频处理：均衡器的每个频段

从抽样信号恢复连续信号

根据抽样定理，原信号可以通过理想低通滤波恢复：

$$x(t) = x_s(t) * h_{lpf}(t)$$

其中理想低通滤波器的截止频率为 $\omega_c = \omega_s/2$。

实际恢复中的问题：

1. 理想低通滤波器不可实现
2. 抽样信号长度有限
3. 量化噪声的影响

脉冲编码调制（PCM）

PCM 包含三个步骤：

1. 抽样：按抽样定理对连续信号抽样
2. 量化：将抽样值量化为有限个离散电平
3. 编码：将量化值编码为二进制码字

量化噪声： 量化误差的功率为：

$$P_q = \frac{\Delta^2}{12}$$

其中 $\Delta$ 是量化间隔。

信噪比： 对于均匀量化，信噪比为：

$$\text{SNR} = 6.02n + 1.76 \text{ dB}$$

其中 $n$ 是编码位数。

频分复用与时分复用

频分复用（FDM）： 不同信号占用不同的频带：

$$x_c(t) = \sum_{k=1}^{N} m_k(t)\cos(\omega_k t)$$

各载波频率 $\omega_k$ 必须足够分离以避免干扰。

时分复用（TDM）： 不同信号占用不同的时隙，复用信号为：

$$x_{tdm}(t) = \sum_{k=1}^{N} \sum_{n=-\infty}^{\infty} m_k(nT) \delta(t - nT - k\tau)$$

码速与带宽关系： 对于数字信号，码速（波特率）与带宽的关系为：

$$R_b = 2W \log_2 M$$

其中 $W$ 是带宽，$M$ 是调制电平数。

现代电信网络概述

现代电信网络采用多种技术的组合：

网络层次结构：

1. 物理层：调制、编码、传输
2. 数据链路层：帧同步、错误检测
3. 网络层：路由、拥塞控制
4. 传输层：端到端可靠传输

关键技术：

1. 数字传输：提高传输质量和容量
2. 光纤通信：大容量长距离传输
3. 无线通信：移动性和便利性
4. 分组交换：高效的资源利用

信号的矢量空间分析

信号矢量空间的基本概念

信号可以看作是矢量空间中的元素，这种观点为信号分析提供了几何直观。

内积定义： 对于能量有限的信号 $x(t)$ 和 $y(t)$，内积定义为：

$$\langle x, y \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t) dt$$

范数定义：

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt}$$

距离定义：

$$d(x, y) = \|x - y\| = \sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t) - y(t)|^2 dt}$$

信号的正交函数分解

如果一组函数 $\{\phi_n(t)\}$ 满足正交性条件：

$$\langle \phi_m, \phi_n \rangle = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ K_n, & m = n \end{cases}$$

则任何信号 $x(t)$ 可以表示为：

$$x(t) = \sum_{n} c_n \phi_n(t)$$

其中系数为：

$$c_n = \frac{\langle x, \phi_n \rangle}{\|\phi_n\|^2}$$

常用正交函数集：

1. 三角函数集：$\{1, \cos(n\omega_0 t), \sin(n\omega_0 t)\}$
2. 复指数函数集：$\{e^{jn\omega_0 t}\}$
3. Walsh 函数集：二值正交函数
4. Legendre 多项式：在有限区间正交

完备正交函数集与帕塞瓦尔定理

完备性： 如果函数集 $\{\phi_n(t)\}$ 是完备的，则：

$$\lim_{N \to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} |x(t) - \sum_{n=1}^{N} c_n \phi_n(t)|^2 dt = 0$$

帕塞瓦尔定理： 对于完备正交函数集：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \sum_{n} |c_n|^2 \|\phi_n\|^2$$

这个定理表明信号在时域和变换域的能量相等。

沃尔什函数

沃尔什函数是二值（+1 或-1）的正交函数集，在数字信号处理中有重要应用。

沃尔什函数的性质：

1. 取值只有 +1 和 -1
2. 易于数字实现
3. 具有良好的正交性
4. 适合分析数字信号

沃尔什-哈达玛变换：

$$W_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n w_k(n)$$

其中 $w_k(n)$ 是沃尔什函数。

相关

自相关函数：

$$R_x(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x^*(t-\tau) dt$$

互相关函数：

$$R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)y^*(t-\tau) dt$$

相关函数的性质：

1. $R_x(0) = E_x$（信号能量）
2. $R_x(\tau) = R_x^*(-\tau)$
3. $|R_x(\tau)| \leq R_x(0)$
4. $R_{xy}(\tau) = R_{yx}^*(-\tau)$

物理意义： 相关函数描述了信号在不同时刻的相似程度，在信号检测、参数估计等方面有重要应用。

能量谱和功率谱

能量谱密度： 对于能量信号：

$$S_x(\omega) = |X(j\omega)|^2$$

功率谱密度： 对于功率信号：

$$S_x(\omega) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} |X_T(j\omega)|^2$$

维纳-辛钦定理： 自相关函数和功率谱密度构成傅里叶变换对：

$$R_x(\tau) \leftrightarrow S_x(\omega)$$

信号通过线性系统的谱分析

当信号 $x(t)$ 通过系统函数为 $H(j\omega)$ 的 LTI 系统时：

输出的自相关函数：

$$R_y(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(\alpha) R_h(\tau - \alpha) d\alpha$$

输出的功率谱密度：

$$S_y(\omega) = |H(j\omega)|^2 S_x(\omega)$$

这说明系统的功率传递函数为 $|H(j\omega)|^2$。

匹配滤波器

匹配滤波器是在加性白噪声背景下检测已知信号的最优滤波器。

设计准则： 对于已知信号 $s(t)$ 在白噪声 $n(t)$（功率谱密度为 $N_0/2$）中的检测，匹配滤波器的冲激响应为：

$$h(t) = Ks^*(t_0 - t)$$

最大输出信噪比：

$$\text{SNR}_{max} = \frac{2E_s}{N_0}$$

其中 $E_s$ 是信号能量。

匹配滤波器的应用：

1. 雷达信号检测
2. 数字通信中的接收机
3. 生物医学信号检测

测不准原理

信号在时域和频域不能同时任意窄，存在基本的不确定性限制：

$$\Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac{1}{2}$$

其中：

$$\Delta t = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty} t^2 |x(t)|^2 dt}{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt} - \left(\frac{\int_{-\infty}^{\infty} t |x(t)|^2 dt}{\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt}\right)^2}$$ $$\Delta \omega = \sqrt{\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \omega^2 |X(j\omega)|^2 d\omega}{\int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega} - \left(\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \omega |X(j\omega)|^2 d\omega}{\int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2 d\omega}\right)^2}$$

高斯函数的最优性： 高斯函数达到不确定性原理的下界，即：

$$x(t) = e^{-\alpha t^2} \Rightarrow \Delta t \cdot \Delta \omega = \frac{1}{2}$$

码分复用与 CDMA

码分复用原理： 不同用户使用不同的扩频码序列，在同一频带和时间传输：

$$x_k(t) = d_k(t) \cdot c_k(t)$$

其中 $d_k(t)$ 是第 $k$ 个用户的数据，$c_k(t)$ 是扩频码。

扩频码的要求：

1. 自相关性好：$R_{c_k}(0)$ 大，$R_{c_k}(\tau)$ 小（$\tau \neq 0$）
2. 互相关性小：$R_{c_i c_j}(\tau)$ 小（$i \neq j$）
3. 平衡性：+1 和-1 的数量基本相等

CDMA 接收： 接收机用相同的扩频码进行解扩：

$$\hat{d}_k(t) = r(t) \cdot c_k(t)$$

由于扩频码的正交性，可以分离出所需的信号。

CDMA 的优势：

1. 频谱效率高
2. 抗干扰能力强
3. 软容量特性
4. 功率控制灵活