大学物理：量子物理学

实验基础与基本原理

黑体辐射

由于物体的分子或原子受到热激发而发出的辐射称为热辐射。热辐射的光谱特性是黑体辐射的基础。物体和辐射处于温度一定的热平衡状态时称为平衡热辐射。黑体是吸收所有入射辐射的物体。

基尔霍夫定律：同一温度下单色辐射出射度 $M_\nu$ 与单色吸收比 $a(\nu)$ 的比值是一个固定的常数。

普朗克公式：黑体辐射的辐射功率与频率的关系。

$$M_\nu = \frac{2\pi h}{c^2} \frac{\nu^3}{e^{h\nu / kT}-1}$$

斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体辐射的总辐射功率与温度的四次方成正比。

$$M = \sigma T^4$$

维恩位移定律：黑体辐射的峰值波长与温度的倒数成正比。

$$\lambda_m T = b$$

光电效应

当光照射到金属表面时，如果光的频率 $\nu$ 大于一定的红限频率 $\nu_0$，则金属表面会发射出电子，这种现象称为光电效应。光电效应方程：

$$h\nu = E_k + A = \frac12 mv_M^2 + A$$

其中 $A$ 为逸出功，$v_M$ 为电子逸出金属表面的最大速度。

遏制电压 $U_c$ 为阻止电子逸出金属表面所需的最小电压，其满足：

$$eU_c = \frac12 mv_M^2$$

逸出功与红限频率之间的关系：

$$\nu_0 = \frac{A}{h}$$

入射光功率 $P=Nh\nu$，其中 $N$ 为单位时间内入射光子数。

康普顿效应

康普顿效应是指 X 射线通过物质时，向各方向散射的 X 射线不仅有和入射光相同波长的成分，还有波长增大的成分。

X 射线的散射可以看作是光子与电子的弹性碰撞，且满足能量守恒和动量守恒，即：

$$\begin{aligned} h\nu_0 + m_0c^2 &= h\nu + mc^2 \\ \frac h\lambda_0 \vec e_0 &= \frac h\lambda \vec e + m\vec v \end{aligned}$$

可以得到康普顿公式：

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \lambda_C (1 - \cos \varphi) = \lambda_C \sin^2 \frac{\varphi}{2}$$

其中 $\Delta \lambda$ 为康普顿散射光的波长增量，$\lambda_0$ 为入射光的波长，$\varphi$ 为散射角，$\lambda_C = \frac{h}{m_0c}$ 为康普顿波长。

玻尔的原子理论

氢原子的光谱公式：

$$\nu = Rc \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} \right), \quad m > n$$

其中，$R$ 为里德伯常量。

• 当 $n=1$ 时是莱曼谱系，在紫外区。
• 当 $n=2$ 时是巴耳末谱系，在可见光区。
• 当 $n=3$ 时是帕邢谱系，在红外区。

德布罗意波

粒子的能量 $E$ 和动量 $p$ 也可以描述一个与这个粒子相联系的波，且有以下关系：

$$\begin{aligned} E &= h\nu \\ p &= \frac{h}{\lambda} \end{aligned}$$

其中，$\lambda$ 为德布罗意波长。

不确定关系：位置与动量、时间与能量满足简单的不确定关系：

$$\begin{aligned} \Delta x \Delta p_x &\geq \frac \hbar 2 \\ \Delta t \Delta E &\geq \frac \hbar 2 \end{aligned}$$

其中 $\hbar = \frac h{2\pi}$。

概率波和概率幅

微观粒子的运动状态用波函数 $\Psi(x, t)$ 描述，其模的平方 $|\Psi(x, t)|^2$ 表示粒子在空间中的分布概率密度。

波函数的归一化条件为 $\int |\Psi(x, t)|^2 \mathrm dx = 1$。

薛定谔方程

薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，用于描述量子系统的波函数随时间的演化。它是一个偏微分方程，包含了系统的动能和势能信息。薛定谔方程有两种形式：时间依赖形式和时间独立形式。

时间依赖的薛定谔方程描述了波函数 $\Psi(x, t)$ 随时间的变化：

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U\Psi$$

其中：

• $\Psi(x, t)$ 是波函数，描述了粒子在位置 $x$ 和时间 $t$ 的概率幅。
• $m$ 是粒子的质量。
• $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子，表示空间中的二阶偏导数。
• $U$ 是势能函数，描述了粒子在空间中的势能分布。

薛定谔方程的解 $\Psi(x, t)$ 提供了系统在任意时间 $t$ 的状态信息，其模的平方 $|\Psi(x, t)|^2$ 表示粒子在空间中的概率密度。

一维定态问题

如果粒子受到某种作用的限制，使得空间某一区域内发现粒子的概率远大于其他区域，则可将该区域看作一个势阱。一维势阱的薛定谔方程为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm d^2 \Psi}{\mathrm dx^2} = E\Psi$$

波函数的标准条件：单值、有限、连续。

氢原子

氢原子的基态能量为 $E_1 = -13.6 \, \mathrm{eV}$，第 $n$ 个激发态的能量为 $E_n = -\frac{E_1}{n^2}$。

氢原子的三个量子数：

量子数	符号	取值范围
主量子数	$n$	$1, 2, 3, \cdots$
轨道量子数	$l$	$0, 1, 2, \cdots, n-1$
磁量子数	$m$	$0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l$

多电子原子系统

四个量子数：

量子数	符号	取值范围
主量子数	$n$	$1, 2, 3, \cdots$
角量子数	$l$	$0, 1, 2, \cdots, n-1$
磁量子数	$m$	$0, \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm l$
自旋量子数	$s$	$\pm \frac12$