麦克斯韦方程组与电磁场

2024-11-24
大学物理

全电流安培环路定理

位移电流：当电场强度随时间变化时，电场强度的变化率 ∂E⃗∂t\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} 产生的感生电场，称为位移电流，其大小为

ID=dΦDdt=ddt∯SD⃗⋅dS⃗=∯S∂D⃗∂t⋅dS⃗I_D = \frac{\mathrm{d}\Phi_D}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oiint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \oiint_S \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

其中，J⃗D=∂D⃗∂t\vec{J}_D = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} 为位移电流密度。

传导电流与位移电流之和为全电流，全电流安培环路定理为

∮LH⃗⋅dr⃗=I+ID\oint_L \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = I + I_D

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组积分形式为

(1)∯SD⃗⋅dS⃗=ΣiQi(2)∮LE⃗⋅dr⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗(3)∯SB⃗⋅dS⃗=0(4)∮LH⃗⋅dr⃗=ΣiIi+ID\begin{aligned} & (1) \quad \oiint_S \vec{D} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \Sigma_i Q_i \\ & (2) \quad \oint_L \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = -\iint_S \frac{\partial \vec{{B}}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\ & (3) \quad \oiint_S \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0 \\ & (4) \quad \oint_L \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = \Sigma_i I_i + I_D \end{aligned}
  • 方程（1）为电场的高斯定理（电场通量定理），它给出了电场强度和电荷的关系，其包含了电荷产生的、变化磁场产生的的电荷；
  • 方程（2）为法拉第电磁感应定律（电场环流定理），说明了变化的磁场产生有旋电场；
  • 方程（3）为磁场的高斯定理（磁场通量定理），说明了磁场无源；
  • 方程（4）为全电流安培环路定理（磁场环流定理），说明了电流和变化的电场都能产生磁场。

均匀各向同性电磁介质也适用，只需带入

D⃗=εE⃗,B⃗=μH⃗,J⃗=σE⃗\vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \quad \vec{B} = \mu \vec{H}, \quad \vec{J} = \sigma \vec{E}

麦克斯韦方程组微分形式为

∇⋅D⃗=ρ∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×H⃗=j⃗+∂D⃗∂t\begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho \\ & \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ & \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ & \nabla \times \vec{H} = \vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{aligned}

电磁波

由麦克斯韦方程组微分形式中的 ∂B⃗∂t\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} 和 ∂D⃗∂t\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} 可知，随时间变化的磁场会激发有旋电场，随时间变化的电场会激发有旋磁场。当空间中无电荷、无传导电流时，由

D⃗=εE⃗,B⃗=μH⃗\vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \quad \vec{B} = \mu \vec{H}

可将麦克斯韦方程组化简为

∇⋅D⃗=ρ∇⋅H⃗=0∇×E⃗=−μ∂H⃗∂t∇×H⃗=ε∂E⃗∂t\begin{aligned} & \nabla \cdot \vec{D} = \rho \\ & \nabla \cdot \vec{H} = 0 \\ & \nabla \times \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\ & \nabla \times \vec{H} = \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

假设电磁场沿 xx 方向传播，则 E⃗\vec{E} 和 H⃗\vec{H} 都是关于 xx 和 tt 的函数，与 yy 和 zz 无关，即可得到

  • 电磁波为横波；
  • 当 E⃗\vec{E} 沿 yy 轴时，H⃗\vec{H} 沿 zz 轴；
  • 电磁波的波速为 u=1/εμu = 1 / \sqrt{\varepsilon \mu}；
  • E⃗\vec{E} 和 H⃗\vec{H} 同频同相位，且 E⃗,H⃗\vec{E}, \vec{H} 和波速 u⃗\vec{u} 成右手螺旋关系。

电磁波的能量

真空中电磁波的能量密度可写为

w=we+wm=ε0E22+B22μ0=ε0E22+ε0(cB)22=2we=2wm=ε0E2=B2μ0\begin{aligned} w &= w_e + w_m = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} \\ &= \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{\varepsilon_0 (cB)^2}{2} \\ &= 2w_e = 2w_m \\ &= \varepsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0} \end{aligned}

电磁波的能流密度为

S⃗=1μ0E⃗×B⃗=E⃗×H⃗\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} = \vec{E} \times \vec{H}

其大小为

S=1μ0EB=cε0E2=cwS = \frac{1}{\mu_0} EB = c\varepsilon_0 E^2 = cw

电磁波以速度 cc 传播时，其能量也以速度 cc 传播。

电磁势

电磁场的电磁势为

A⃗=μ04π∭VJ⃗rdV,φ=14πε0∭VρrdV\vec{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \iiint_V \frac{\vec{J}}{r} \mathrm{d}V, \quad \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \frac{\rho}{r} \mathrm{d}V

其中，A⃗\vec{A} 为磁矢势，φ\varphi 为电势。

电磁场的电磁场强度和磁场强度分别为

E⃗=−∇φ−∂A⃗∂t,B⃗=∇×A⃗\vec{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}