相对论基础

2024-12-05
大学物理

经典时空观

经典时空观认为，时间和空间是绝对的，时间是全宇宙的绝对时钟，空间是绝对的三维空间。在这个观点下，物体的运动是绝对的，物体的速度是绝对的，物体的质量是绝对的。

伽利略的相对性原理：在一个匀速直线运动的参考系中，物体的运动是相对的，物体的速度是相对的，物体的质量是相对的。

狭义相对论

爱因斯坦的狭义相对论是在经典时空观的基础上，通过两个基本假设推导出来的：

  1. 一切惯性参考系对物理规律都是等价的；
  2. 真空中的光速是常数。

狭义相对论的相对性原理：一切彼此相对做匀速直线运动的惯性系都是等价的。

光速不变原理：光在真空中的速度是一个恒定值，与光源的运动状态无关。

洛伦兹变换：设有两个相对运动的惯性系 SS 和 S′S'，S′S' 沿 xx 轴以速度 uu 相对于 SS 做匀速直线运动。当 OO 与 O′O' 重合时，tO=tO′=0t_O=t_{O'}=0，一物体在 SS 系中的坐标为 (x,y,z,t)(x, y, z, t)，在 S′S' 系中的坐标为 (x′,y′,z′,t′)(x', y', z', t')，令 β=uc\beta=\frac{u}{c}，则有：

x′=x−ut1−β2,y′=y,z′=z,t′=t−uc2x1−β2.\begin{aligned} x' &= \frac{x-ut}{\sqrt{1-\beta^2}}, \\ y' &= y, \\ z' &= z, \\ t' &= \frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-\beta^2}}. \end{aligned}

狭义相对论的时空观

同时性是相对的：在一个惯性系中不同地点同时发生的两件事，在另一个相对于前一个系做匀速直线运动的惯性系中不同时发生，除非这两个惯性系相对运动的方向与两个事件的发生地的连线是垂直的。

钟慢效应：运动会使时间膨胀，相对运动的速度越大，时间膨胀越明显。

尺缩效应：运动会使长度缩短，相对运动的速度越大，长度缩短越明显。

相对论速度变换关系：在上面的 SS 和 S′S' 系中，一物体在 SS 系中以 vx,vy,vzv_x,v_y,v_z 速度运动，S′S' 系中以 vx′,vy′,vz′v_x',v_y',v_z' 速度运动，有：

vx′=vx−u1−uvxc2,vy′=vy1−β21−uvxc2,vz′=vz1−β21−uvxc2.\begin{aligned} v_x' &= \frac{v_x-u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}, \\ v_y' &= \frac{v_y \sqrt{1-\beta^2}}{1-\frac{uv_x}{c^2}}, \\ v_z' &= \frac{v_z \sqrt{1-\beta^2}}{1-\frac{uv_x}{c^2}}. \end{aligned}

相对论动力学

因为在任何参考系中动量都应该是守恒的，而相对论表明速度是相对的，所以质量也是相对的。设一物体在 SS 系中以速度 vv 运动，质量为 mm，设 β=vc\beta = \frac vc，则有：

m=m01−β2,m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}},

因此可以得到相对论动力学的基本方程：

F⃗=ddtm0v⃗1−β2=dmdtv⃗+m0a⃗\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} t} \vec{v} + m_0 \vec{a}

质量-能量关系：质量和能量之间的关系是 E=mc2E=mc^2，其中 EE 是物体的能量，mm 是物体的质量，cc 是光速。

能量-动量关系：能量和动量之间的关系是 E2=p2c2+m02c4E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4，其中 EE 是物体的能量，pp 是物体的动量，mm 是物体的质量，cc 是光速。

广义相对论

等效原理：在引力场下落时，局域惯性系中的引力和惯性力是不可分辨的，加速度和引力是等效的。

相对性原理：一切参考系对物理规律都是等价的。

弯曲时空：质量和能量会使时空弯曲，弯曲的时空会使物体做曲线运动。