恒定磁场

2024-11-04
大学物理

磁场与磁感应强度

毕奥-萨伐尔定律：电流元 IdlI\mathrm{d}l 产生的磁场在距离 rr 处的磁感应强度为

dB⃗=μ04πIdl×r⃗r3d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\mathrm{d}l \times \vec{r}}{r^3}

其中 μ0=4π×10−7 T⋅m/A\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{T \cdot m/A} 为真空中的磁导率。

由叠加原理，空间中任意一点的磁感应强度为

B⃗=μ04π∫Idl×r⃗r3\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I\mathrm{d}l \times \vec{r}}{r^3}

无限长载流直导线的磁感应强度：无限长载流直导线在距离 rr 处的磁感应强度为

B=μ0I2πrB = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

载流圆线圈的磁感应强度：载流圆线圈在轴线上距离 xx 处的磁感应强度为

B=μ0IR22(R2+x2)3/2B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}

当 x=0x = 0 时，磁感应强度最大，为

Bmax⁡=μ0I2RB_{\max} = \frac{\mu_0 I}{2R}

当 x≫Rx \gg R 时，磁感应强度近似为

B=μ0IR22x3B = \frac{\mu_0 I R^2}{2 x^3}

令线圈的磁矩为 m⃗=ISn⃗=IπR2n⃗\vec{m} = IS\vec{n} = I\pi R^2 \vec{n}，则当 x≫Rx \gg R 时，磁感应强度近似为

B=μ04π2m⃗x3B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\vec{m}}{x^3}

与电偶极子的电场

E=−14πε02p⃗r3E = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}

形式相同，说明载流线圈在远处产生的磁场与电偶极子在远处产生的电场类似。

无限长直螺线管的磁感应强度：内部轴线上的磁感应强度为

B=μ0nIB = \mu_0 n I

端口中心的磁感应强度为

B=μ0nI2B = \frac{\mu_0 n I}{2}

磁场的高斯定理

与电场线类似，沿曲面法线方向通过曲面的磁感应强度通量（磁通量）为

ΦB=∫B⃗⋅dS⃗\Phi_B = \int \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}

单位为 Wb\mathrm{Wb}（韦伯），1 Wb=1 T⋅m21 \, \mathrm{Wb} = 1 \, \mathrm{T \cdot m^2}。

电流元磁场的磁感应线都是圆心在电流元轴线上的同心圆，均为闭合曲线，所以通过任意闭合曲线的磁通量为零。

∮B⃗⋅dl⃗=0\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = 0

其微分形式为

∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B} = 0

安培环路定理

在静电场中，电场强度的旋度为零，所以电场强度是一个保守场。但在磁场中，磁感应线是闭合曲线，所以磁感应强度沿闭合曲线的线积分不为零

∮B⃗⋅dl⃗=μ0Ienc\oint \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}

其微分形式为

∇×B⃗=μ0J⃗\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}

带电粒子在磁场中的运动

洛伦兹力：带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力为

F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}

带电粒子在磁场中的运动：带电粒子在磁场中的运动轨迹为圆周运动，圆周运动的半径为

r=mvqBr = \frac{mv}{qB}

霍尔效应：当导体中有电流通过时，导体两侧会产生电势差，这种现象称为霍尔效应。设导体的宽度为 dd，电流为 II，磁感应强度为 BB，则导体两侧的电势差为

U=kIBdU = k \frac{IB}{d}

其中 k=1nqk = \frac{1}{nq}，nn 为载流电子的密度，qq 为电子电荷。

质谱仪：质谱仪是一种利用带电粒子在磁场中的圆周运动的性质来测定带电粒子的质量和电荷的仪器。

qm=2UB2r2\frac{q}{m} = \frac{2U}{B^2r^2}

可以根据两点间的距离求出荷质比。

磁场对电流的作用

安培力：导线元 IdlI\mathrm{d}l 在磁场中受到的安培力为

dF⃗=Idl⃗×B⃗\mathrm{d}\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l} \times \vec{B}

一段导线 LL 在磁场中受到的安培力为

F⃗=∫LdF⃗=∫LIdl⃗×B⃗\vec{F} = \int_L d\vec{F} = \int_L I \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{B}

磁介质

对于各向同性的磁介质，磁介质与磁场的关系为

B⃗=μrB⃗0\vec{B} = \mu_r \vec{B}_0

其中 μr\mu_r 为相对磁导率，B⃗0\vec{B}_0 为外加磁场。

磁介质受外磁场作用呈现磁性的现象叫做磁化，也会因磁化产生附加磁场。磁介质可分为顺磁性、铁磁性和抗磁性。

磁化强度：可以用磁化强度 M⃗\vec{M} 来描述磁介质的磁化程度，磁化强度的定义为

M⃗=Σm⃗iΔV\vec{M} = \frac{\Sigma \vec{m}_i}{\Delta V}

其中 m⃗i\vec{m}_i 为磁介质中的分子磁矩，ΔV\Delta V 为磁介质的体积。

在一宏观小体积元内，每个分子可等效为一个电流强度为 ii，半径为 aa 的圆电流环，可得磁化强度为

∣M∣=∣Σmi∣ΔV=niπa2|M| = \frac{|\Sigma m_i|}{\Delta V} = ni \pi a^2

其中 nn 为单位体积内的分子数。

在磁介质中做一有向闭合路径 l⃗\vec{l}，则闭合路径 l⃗\vec{l} 上的总磁化电流为

I′=∮LdI′=∮LM⃗⋅dl⃗I' = \oint_L \mathrm{d}I' = \oint_L \vec{M} \cdot \mathrm{d}\vec{l}

对应面束缚电流密度为该表面处磁化强度沿法线方向的分量

j⃗′=M⃗×n⃗\vec{j}' = \vec{M} \times \vec{n}

磁介质中的磁感应强度为自由电流的磁感应强度 B0B_0 和磁化电流的磁感应强度 B′B' 的矢量和

H⃗=B⃗0+B⃗′\vec{H} = \vec{B}_0 + \vec{B}'

磁场强度：磁场强度 H⃗\vec{H} 定义为

H⃗=B⃗μ0−M⃗\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}

磁介质中磁场的安培环路定理：磁介质中的磁场强度满足

∮H⃗⋅dl⃗=ΣI0\oint \vec{H} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = \Sigma I_0

其中磁场强度 H⃗\vec{H} 的单位为 A⋅m−1\mathrm{A \cdot m^{-1}}。

一般地，任一点的磁化强度 M⃗\vec{M} 与磁场强度 H⃗\vec{H} 之间的关系为

M⃗=χmH⃗\vec{M} = \chi_m \vec{H}

各向同性磁介质的相对磁导率 μr\mu_r 与磁化率 χm\chi_m 之间的关系为

μr=1+χm\mu_r = 1 + \chi_m

因此

B⃗=μ0μrH⃗=μH⃗\vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H} = \mu \vec{H}

其中 μ=μ0μr\mu = \mu_0 \mu_r 为磁导率。

铁磁质

以铁、钴、镍及其合金或氧化物为代表的铁磁质对外磁场有很大影响，由许多特点：

  • 其相对磁导率 μr\mu_r 为 102∼10410^2 \sim 10^4；
  • μr\mu_r 随外磁场的变化而变化；
  • 有明显的磁滞现象；
  • 在一定温度 TCT_C 以上，铁磁质会失去铁磁性；
  • 较弱的外磁场就能使铁磁质磁化到饱和。

磁化曲线：铁磁质在外磁场作用下，磁化强度 M⃗\vec{M} 随外磁场强度 H⃗\vec{H} 的变化关系称为磁化曲线。

铁磁质的磁化曲线分为磁化曲线的上升支和下降支，上升支称为磁化曲线的磁化过程，下降支称为磁化曲线的消磁过程。

磁滞回线：铁磁质在外磁场作用下，磁化曲线的上升支和下降支不重合，形成的闭合曲线称为磁滞回线。