⚠️ 本文包含 AI 辅助生成的内容。
常数项级数
定义:常数项级数是指形如 的级数,其中 是常数。
柯西收敛原理:对于常数项级数 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$,它收敛的充分必要条件是对于任意 $\varepsilon>0$,存在 $N\in \mathbb{N}$,使得对于所有 $m>n\geq N$,有 $\left| \sum_{k=n}^{m} a_k \right| < \varepsilon 成立。
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质包括:
- 线性性质:设 和 是两个常数项级数,$\alpha$ 和 是常数,则 $\sum_{n=1}^{\infty} (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \beta \sum_{n=1}^{\infty} b_n$。
- 级数收敛的必要条件:若 收敛,则 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
- 级数收敛的充分条件:若 \lim_{n \to \infty} a_n = 0$,且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛,则 收敛。
正项级数敛散性的判别法
正项级数收敛基本定理:对于正项级数 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$,它收敛的充分必要条件是它的部分和数列 $\{S_n\} 有界,即存在 $M > 0$,对于所有 $n$,有 $S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \leq M$。
比较判别法:设 和 是两个正项级数,如果存在正常数 和 $N$,使得对于所有 $n \geq N$,有 $a_n \leq M b_n$,则以下结论成立:
- 若 收敛,则 收敛;
- 若 发散,则 发散。
比值判别法:设 是正项级数,如果存在正常数 $M$,使得对于所有 $n$,有 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq M$,则以下结论成立:
- 若 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$,则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛;
- 若 或 不存在,则 发散。
根值判别法:设 是正项级数,如果存在正常数 $M$,使得对于所有 $n$,有 $(a_n)^{1/n} \leq M$,则以下结论成立:
- 若 \lim_{n \to \infty} (a_n)^{1/n} < 1$,则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛;
- 若 或 不存在,则 发散。
积分判别法:设 是一个连续、正值函数,且在 处单调递减,则以下结论成立:
- 若 收敛,则 收敛;
- 若 发散,则 发散。